FONCTIONS IMPLICITES. COURBES ET SURFACES ANALYTIQUES

une seule, qui tend vers a lorsque x tend vers zéro, et celte racine est représentéCi pour les valeurs de x suffisamment petites, par la somme d'une série entière convergente

Plus généralement, si /(y) est une fonction développable suivant les puissances positives de ^ — a, après y avoir remplacé^ par le développement précédent, on aura pour /{y) un développement ordonné suivant les puissances de Xj qui sera encore valable pour les valeurs de x comprises entre certaines limites,

(5o) /(y) =/(ûf) -H Ajrr -f- A,a?*-f-. . .-+- XnX"-^

Le but de la formule de Lagrange est précisément de donner Texpression des coeffîcients Ai, As, ... A„, ..., en fonction de a. Remarquons que ce problème n'est pas essentiellement distinct du problème général; le coefficient A» est, au facteur ni près, la dérivée /i''*"', pour x = o^ àt f{y), y étant définie par l'équation (49)i et cette dérivée peut être calculée par l'application des règles connues. Le calcul parait compliqué, mais on l'abrège beaucoup, grâce aux remarques suivantes de Laplace {voir Ex. n* 8, Ghap. II). Les dérivées partielles de la fonction j' définie par l'équation (49)) par rapport aux variables x et a, sont données par les formules

on en déduit immédiatement la relation

du du

en posant u =/(y). D'autre part, F(^) étant une fonction quelconque dey, on vérifie immédiatement par la diiférentiation que l'on a

•^■"■> si^wSl-IHë]

car chacune des dérivées développée a pour expression

da dx da dx

Gela posé, nous allons montrer que l'on a, quel que soit le nombre entier n,

La loi est vraie pour n = i, d'après la formule (5i); pour établir qu'elle est générale, supposons-la établie pour une certaine valeur de /i. On en

déduil

Mais on peut écrire, en utilisant les relations (5i) et (5i*''),

âx

on a donc bien

*-iw d« r da"]

et la formule est vraie pour toute valeur de n.

Supposons maintenant x = o\ y se réduit k a, u k /(a) et la dérivée /i'**"** de u par rapport à x devient

La formule de Taylor nons donne donc pour le développement de f(y) /(^) = /(a)+*<p(a)/(a)+-fi^[«p(a)«/(a)] + ...

Telle est la formule célèbre due à Lagrange; elle donne l'expression de la racine y qui tend vers a lorsque x tend vers zéro. Nous verrons plus tard entre quelles limites cette formule est applicable.

Remarque. — Il résulte aussi du théorème général que la racine y^ considérée comme fonction de x et de a, peut être représentée par une série double ordonnée suivant les puissances de x et de a. On obtiendrait cette série double en remplaçant chacun des coefficients A» par son développement suivant les puissances de a. On déduit de là qu'il est permis de diiïérentier terme à terme la série (62) par rapport au paramétre a.

Exemples, — 1° L'équation

admet une racine égale à a pour x = 0, La formule de Lagrange donne pour le développement de cette racine

^ i.aVa/ da

^^^ \ 1 /xy dn-^a*-^i)n

{ i.a.../i\a/ da"-^ "''

d'autre part, en résolvant l'équation (53), on a pour expression des

m. — FONCTIONS IMPLICITES. COURBES ET SURFACES ANALYTIQUES. 4^5

racines

y =^ — ± — /i — lax -^-x^y

et, pour avoir la racine égale à a pour or = o, il faut prendre le signe — . En différentiant par rapport à la variable a les deux membres de l'équation (54)v on parvient à une formule qui ne diffère que par les notations de la formule (3a) obtenue plus haut (n*' 184). 2"* L'équation de Kepler

(55) a = a -h c sin w

admet la racine u = a pour 6 = 0. La formule de Lagrange donne pour le développement de la racine qui tend vers a

__. . c* rf , . , . " c» rf«-^(sin«a)

(56) u=^a-\-e siuaH y- (sin'a)-i-. . .H 7— — ; h. . ..

^ j.aaa i.-2.../i aa'^-^

Laplace a démontré le premier, par une analyse savante, que la série précédente est convergente pourvu que e soit inférieur à la limite 0,662743. ... 190. Inversion. — Soit

(67) y T= aiX-\- OiX'-i-.. .-h anXf^-+-. ..

une série convergente dans l'intervalle (— r, -h r;, où le premier coefficient ai n'est pas nul. Si l'on considère dans l'équation (57)^ comme la variable indépendante, et x comme une fonction de y, cette équation admet, d'après le théorème général (n** 187), une racine et une seule qui tend vers zéro avec j^, et cette racine est développable en série ordonnée suivant les puissances de^

(58) X = biy-^-bty^-hbzy^-h,, .-H ^nj^-f-

Les coefficients 61, 6], 63, ... se déterminent aisément de proche en proche en remplaçant x par son développement dans la formule (57) et écrivant qu'on a une identité. On trouve ainsi

, I , ax , ^ta^ — aïaz

ai a\ a\

on peut aussi obtenir l'expression générale des coefficients bn au moyen de la formule de Lagrange. Si Ton pose en effet

^(x) = at-r- a%x -\-, , .-^ a«a?'»-*-+-.. ., l'équation (57) peut s'écrire

et la formule de Lagrange donne, pour le développement de la racine qui

s'annule avec y^

"^"•^ÇCÔ)"^*"^ 1.2. ../i 5^^'V4^)/o"^""

l'indice o indiquant qu'on remplace x par o après les difTérentiations.

Le problème précédent était connu autrefois sous le nom de problème du retour des suites»

191. Fonctions analytiques. — Nous appellerons par la suite fonction analytique toute fonction d'un nombre quelconque de variables Xy y^ z, ..., qui, dans le voisinage d'un système de valeurs Xq^ yo, Zq^ ..., peut être développée en série entière ordonnée suivant les puissances de x — Xq, y — yo, z — 5©, . . - , et convergente tant que les valeurs absolues de ces différences ne dépassent pas certaines limites (les valeurs Xq, y^^ Co pouvant d'ailleurs être soumises à certaines restrictions, que nous n'examinerons pas ici). De l'étude qui vient d'être faite dans ce Chapitre, il résulte que ces fonctions naissent en quelque sorte les unes des autres. Étant données une ou plusieurs fonctions analytiques, l'intégration ou la différentiation, et les opérations algébriques, telles que multiplication, division, combinaison par substitution, etc., conduisent à de nouvelles fonctions analytiques. Il en est de même des fonctions obtenues par la résolution d'équations dont les premiers membres sont analytiques. Or les fonctions les plus simples, comme les polynômes, l'exponentielle et les fonctions circulaires, étant analytiques, on s'explique aisément comment les premières fonctions étudiées par les géomètres ont été nécessairement des fonctions analytiques, et l'importance de ces fonctions apparaîtra encore mieux dans Tétude des fonctions d'une variable imaginaire et des équations différentielles. Mais, malgré le rôle fondamental des fonctions analytiques, on ne doit point oublier qu'elles ne forment en définitive qu'un groupe tout particulier dans l'ensemble des fonctions continues (*).

192. Courbes planes. — Soit AB un arc de courbe plane. Nous dirons que AB est un arc de courbe analytique si, dans le voisi-

(1) On verra, dans le second Volume, des exemples de fonctions non analeptiques, pour lesquelles la suite des dérivées est illimitée dans un intervalle (a, b).