III. — FONCTIONS IMPLICITES. COURBES ET SURFACES ANALYTIQUES

nage de tout point Mo de cet arc, les coordonnëes {x^ y) d'un point variable M peuvent être développées en séries entières ordonnées suivant les puissances d'un paramètre t — Iq^ et convergentes tant que la valeur absolue de < — t^ ne dépasse pas une certaine limite

Un point Mo(^oO'o) d'une courbe analytique est dit un point ordinaire si, dans le voisinage de ce point, Tune des différences y — j^O) ^ — ^0 peut être représentée par une série convergente ordonnée suivant les puissances positives et croissantes de la seconde différence. Supposons, par exemple, que pour les valeurs de x comprises entre Xq — h et a^o + /*? y — ^o soit développable suivant les puissances de x — j*,,

(60) y — 7*0= Cl (a? — rro)-hCj(ar — a^o )* -I- . . . -f- Crt(x — aro/'-H. . .:

le point (:ro, y^) est un point ordinaire, et il est facile de remplacer la formule (60) par deux formules de la forme (69) : il n'y a qu'à poser

Si Cl n'est pas nul, ce qui est le cas général, on peut inversement tirer de l'équation (60) un développement Ae x — Xq suivant les puissances de y — y^^ valable pour les valeurs àey — y^ dont la valeur absolue ne dépasse pas une certaine limite. Chacune des deux différences x — ^ùy y — JKo peut donc être représentée par une série convergente ordonnée suivant les puissances de l'autre. Il n'en est plus de même si le premier coeffîcient c% est nul, c'està-dire si la tangente est parallèle à Ox\ on tire alors de la formule (60) un développement de x — x© suivant les puissances fractionnaires de y — j^o> comme on va le voir un peu plus loin. On verrait de même qu'en un point ordinaire où la tangente est parallèle à Oy^ x — Xq peut être développée suivant les puissances Aey — j^o> mais la réciproque n'a pas lieu.

Si, dans le voisinage d'un point Mo, les coordonnées x^y sont représentées par les formules (59), ce point est un point ordinaire pourvu que l'un au moins des coefficients a*, b% soit différent de

zéro. Sî, par exemple, at n'est pas nul, on tirera de la première formule un développement de t — Iq suivant les puissances de X — Xq et, en portant cette valeur de t — to dans la seconde formule, on obtiendra le développement de ^ — y^ suivant les puissances de x — Xq,

Observons encore qu'en un point ordinaire une courbe ne peut présenter que deux aspects différents : elle peut avoir la forme habituelle, ou avoir une inflexion. Tout point non ordinaire est dit un point singulier. Si un arc de courbe analytique ne présente pas de points singuliers, on dit que c'est un arc régulier.

Supposons que, dans les formules (Sg), les deux coefficients ai et b^ soient nuls, mais que a2, par exemple, soit différent de zéro. La première des formules (Sg) peut s'écrire

(ar — 370 )* = (*— ^o)[«î-+- «3 ('— 'o) -+-.. .]',

et le second membre est développable en série suivant les puissances de ^ — Iq. On déduira donc inversement de cette relation

un développement de / — to suivant les puissances de (x — Xq)*^

et, en portant cette expression de ^ — to dans la seconde des formules (09), on obtiendra pourj^ un développement de la forme

y — yo= Ci(x — Xo) -\- Ci{x ^ Xo)' -h c$(x — aro)*H-

Le point (^05 ^0) est en général un point de rebroussement de première espèce.

Le raisonnement est général. Si le développement de x — x^ suivant les puissances de t — ^0 commence par un terme de

degré n^ on en déduira pour j^ — yo ^"^^ développement suivant

les puissances de (x — ^o)** On peut observer que, dans le voisinage du point {xo,yo)i ^^^ courbe représentée par des développements tels que (39) ne peut présenter que quatre aspects différents ; point ordinaire, point d'inflexion, point de rebroussement de première ou de deuxième espèce.

193. Courbes gauches. — Un arc de courbe gauche AB est dit analytique si, dans le voisinage de tout point Mo de cet arc, les coordonnées x, y, z d'un point variable M peuvent être développées en séries entières ordonnées suivant les puissances d'un

m. — FONCTIONS IMPLICITES. COURBKS ET SURFACES ANALYTIQUES. 459

paramètre t — /q

Un point Mo est un point ordinaire si deux des trois différences ^ — <^oj y — J^Oî ^ — ^0 peuvent être développées en séries entières ordonnées suivant les puissances de la troisième.

On démontre comme plus haut que le point Mo est un point ordinaire pourvu qu'un des trois coefficients ai, b^f Cf ne soit pas nul. On obtiendra donc les points singuliers en cherchant les points pour lesquels on a à la fois

rix dy dz

di=°' -01="^ Tt=''-

Soient Xq^ y^y Zq les coordonnées d\in point Mq d'une courbe gauche F représentée par un système de deux équations

(63) F(x,y, z) = o, Fi(^, r, ^)=o,

dont les premiers membres sont des séries entières en x — Xq, y — ^o> ^ — ^0- Ce point Mo est un point ordinaire pourvu que les trois déterminants fonctionnels

D(F, Ft) D(F, Ft) D(F, F.) \^{x,y)' l^Ky.z)' \^{z,x)

ne soient pas nuls à la fois pour x = Xq^ y =yoy ^ = ^o- Si, par

D(F Fi)

exemple, le déterminant ^ ^ — r- n'est pas nul au point M©, on

tirera des équations (63) des développements en séries entières pour X — Xo et y — y©? ordonnées suivant les puissances de

194. Surfaces. — Une portion de surface S est analytique si, dans le voisinage de tout point M© de cette surface, les coordonnées X, y, Zy d'un point variable M peuvent être développées en séries entières à deux paramètres variables t — /©> ^ — ^oj

X — Xo= a\o{t — to) -+- aoi (u — w©) H-. . .,

(64) { y — 7o= bio{t — to)-^boi(u — uo) -{-,..,

z — Zo= Cio(< — <o) -»- Coi (m — Mo) H-- • M

46o CHAPITRE IX. — SÉRIES ENTIERES. SERIES TRIGONOMÉTRIQVES.

ces séries restant convergentes tant que les valeurs absolues des différences t — ^o, u-r- Uq ne dépassent pas certaines limites. Un point Mo de la surface S est un point ordinaire si, dans le voisinage de ce point, une des trois différences x — ^o^y — J^oi z-^- Zq peut être développée en série entière ordonnée suivant les puissances entières des deux autres. Tout point Mq pour lequel les

trois déterminants

r)f.>',^) D(z. x) Dix, y) D(Y, w)' D{e, uY "D(<, u)

ne sont pas nuls à la fois, est un point ordinaire; si Ton suppose,

par exemple, que le premier déterminant ne soit pas nul, on peut,

des deux dernières équations (64), tirer t — t^ et u — Wo, et,

en portant les valeurs obtenues dans la première, on obtient un

développement de x — x^ suivant les puissances de y — ^Vo

ei oe Mtt ^~~~ AfQm

Étant donnée une surface S représentée par une équation non

point Mo de cette surface. Si la fonction F est développable en

série entière ordonnée suivant les puissances de ^ — -^oy — y^i