IV. — SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES. — SÉRIES DIVERSES

195. Calcul des coefficients. — Nous allons nous occuper, dans les paragraphes suivants, de séries d'une nature tout à fait différente des précédentes. Les séries trigonométriques paraissent avoir été considérées, pour la première fois, par D. Bernoulli, à propos du problème des cordes vibrantes ; le procédé de détermination des coefficients, que nous allons indiquer, est dû àEuler.

Soity(^) une fonction bien déterminée de la variable x dans un intervalle (a, b); nous supposerons d^abord que les limites a et 6 sont — TT et +ir, ce qu'on peut toujours faire, car il suffira de

prendre pour nouvelle variable ^-— — pour être ramené

à ce cas. Cela posé, si pour toutes les valeurs de x comprises entre — tï et -f- it, on a l'égalité ci-dessous

,^^. ( /far) = — -f-(aiCosa:-f-ôisinar)-i-...

( -{-{amCosmx-hb„iSÏnmcc)-\-. . .,

a^f diy 6|, ..., a/n) bni, •••9 étant des coefficients constants inconnus, l'artifice suivant s'offre tout naturellement pour déter-

462 CHAPITBE IX. -— SERIES ENTIERES. SERIES TRIGONOMBTRIQUES .

miner ces coefGcients. Rappelons d'abord les formules suivantes, qu'il suffit d'écrire, où m et /i sont des nombres entiers positifs,

■ -»-'ïï ^ +7t

I cosmxdx == o, si /M ^ o, / s'inmx dx = Oy

>+iï ^+«

I cosmxcos nxdx= 1 '- dT = o, sim^n,

i-i-ir ^-hir

/ co?>^ mxdx = / dx = tt, si /w 7^ o,

/É-r\J r ' ' 1 r cos(m — n)x — cos(m-h/î)^ ,

(oG)\ / sinmxsinnx dx= 1 dT = Oy sim/^/i.