IV. — SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES. — SÉRIES DIVERSES

Le calcul que nous venons de faire n'a que la valeur d'une simple induction. Nous* avons admis, en effet, que le développement de la fonction f{x) sous la forme (65) était possible et, en outre, que ce développement était uniformément convergent entre les limites — -re et + tt. Comme rien ne prouve a priori que ces conditions sont satisfaites, il est indispensable d'examiner si la série ainsi obtenue est convergente et a pour somme f{x). La somme des (/n + i) premiers termes de cette série devient, en remplaçant les coefficients ai et bi par leurs valeurs (67) et effectuant les réductions évidentes.

S,„-+.i= -1 f /(«) \ 4-cos(a — a~)-t-cos2(a--a7;-h...-+-cos/;i(a — X)

Mais on a, d'après une formule bien connue de Trigonométrie,

sin a

— h cosa H- cosaa -+-. . .-4- cos/iia = .

dcL.