c sin (oL — x

et, par suite,

•^-^ a Sin

ce que nous pouvons encore écrire, en posant ol = x -i- ay, (68) S;„^,= -: / /(^^-•v) .-— dv.

Toute la difficulté de la question est ramenée à trouver la limite de cette somme lorsque le nombre entier m augmente indéfiniment. Nous supposerons pour cela que la fonction f{x) satisfait aux conditions suivantes :

1® Elle est en général continue entre — 7t et -j-iî, sauf pour un nombreyî/iî de valeurs deo:, oîj elle passe brusquement d'une valeur à une autre de la façon suivante. Soit c un nombre quelconque compris entre — ir et -l-Tt, quel que soit ce nombre c, on peut toujours trouver un autre nombre positif h tel que/'(^) soit continue entre c — A et c d'une part, entre c et c -h A d'autre part. Lorsque e tend vers zéro par valeurs positives, f{c -j- e) tend vers

uae limite /(c -l-o), et /{c — e) tend de même vers une limite /{c — o). Si la fonction /{^) est continue pour a: = c, on a évidemment/(c) =y"(c + o) =y(c — o). Mais si les deux limites /(c + o) el/(c — o) ont des valeurs différentes, la fonction /(a:) est discontinue pour x = c^ei Ton convient de prendre poury(c)

la moyenne arithmétique ^^-^ — =— ^^ ; il est clair que cette

égalité subsiste pour un point où la fonction est continue. Nous supposons de même quey( — it-he) elf^K — e) ont des limites /( — Tz-h o) elf{Tz — o) lorsque e tend vers zéro en restant positif. La courbe représentée par l'équation y=zf(^x) doit avoir une forme analogue à celle de W fig, 1 1 (p. 179), s'il y a des discontinuités. Nous avons vu que la fonction /(x) était intégrable dans tout intervalle compris entre — tt et + tt, et il en est évidemment de même du produit de /(^) par une fonction continue dans le même intervalle.

2" On peut partager l'intervalle ( — ir, -{- tc) en un nombre flni d'intervalles, dans chacun desquels la fonction est constamment croissante ou constamment décroissante.

Nous dirons, pour abréger, que la fonction f(^x^ satisfait aux conditions de Dirichlet entre — tc et -|- tt. Il est clair qu'une fonction continue dans l'intervalle ( — tc, -|- tt), et qui n'admet qu'un nombre fini de maxima et de minima dans cet intervalle, satisfait aux conditions de Dirichlet.

/h f{x) —, dx. — L'expression

obtenue pour la somme S^+i conduit à chercher la limite de l'intégrale définie

f{x) — . dx,

lorsque n augmente indéfiniment. Cette étude a été faite pour la première fois d'une façon entièrement rigoureuse par Lejeune- Dirichlet (*). Nous suivrons à peu près la méthode de M. O. Bonnet (^).

(•) Journal de Crelle, t. IV; 1829.

C) Mémoires des savants étrangers publiés par rAcadémie de Belgique, t. XXIII.