IV. — SÉRIES TR1G0N01IÉTR1QUE8. — SÉRIES DIVERSES

Considérons d'abord Tlntcgrale définie

(Gcj) J= 1 ^{x) dx,

où h est un nombre positif inférieur à tï et <p(^) une fonction satisfaisant aux conditions de Dirichlet dans Tintervalle (o, K), Si ^(^) se réduit à une constante C, il est facile de trouver la limite de J; on peut écrire, en effet, en posant nx =JK>

et,' lorsque n augmente indéfiniment, la limite de J est par conséquent - C (n** 176, formule Sg).

Supposons en second lieu que la fonction cp(x) soit positive et décroissante deo à/i. La fonction sous le signe / change de signe

pour les valeurs de x de la forme -, et nous pouvons écrire l'intégrale J

J 7= mq — ifj^ M,__ I4J-4-. . ,^{ — i)*!^^.-^. . . { — iyn^ii^ (o-^ 6< i), en posant

Jf '» , ^ sinnrr , f «( Jc) - dx

kr. ' ' X

et en supposant la limite supérieure h comprise entre — '- et

— — • Les intégrales Uq, w«, Wa? ••• vont en diminuant; si nous posons, en effet, dans wy^, nx = kiz -\-y^ il vient

et il est évident, d'après les hypothèses faites sur ç(^), que celte intégrale diminue lorsque Tindice k augmente. On a donc

J = ao— (Ml— Ut) — (Ma— u,,)—. ..,

J = Uq Ml -7 (Mj Ms) -f- ( M4— Mj) -h. . .,

466 CHAPITRE IX. — 8éRIi£S ENTIÈRES. SÉRIES TRIGONOMÉTRIQURS.

ce qui montre que J est compris entre ^^o et Wo — w< ; J est par suite un nombre positif inférieur à Uq, c'est-à-dire à l'intégrale

9(ar) ■ ax.

Mais cette intégrale est elle-même inférieure à l'intégrale