IV. — SÉRIES TRIGONOM ETRIQUES. — SÉRIES DIVERSES

limite de l'inlégrale J, prenons un nombre c compris entre o et A, tel que (p(a?) soit continue de oàc, et posons (p(a:) = ?(<?)-l- ^(^)5 •}(a:) est une fonction positive et décroissante dans l'intervalle (o, c), décroissant de <p(-i- o) — cp(c) à zéro lorsque x croît de o à c. Écrivons J de la façon suivante

, ^ r"" ^\nnx J r^ . . <\wnx /•* sinna-

J r= o(c) / dx ->r- I ^{X) dx -^ 1 ^(x) — OXj

ou, en retranchant - ^(-h o) des deux membres,

I J-%(-f-o) = cp(o) J !l!^t/a7- ^L-^[cp(c)-<p(-f-o)]

/• sinn.r , r smnrr ,

-^ / 4^(^) dx-^ I 9ix) —-— dx.

Pour démontrer que J a pour limite -'f(+o), il suffit de

prouver que l'on peut déterminer un nombre entier m tel que, pour toute valeur de n supérieure à m, la valeur absolue de chacun des termes du second membre soit inférieure à un nombre positif

choisi à l'avance y D'après la remarque de tout à l'heure, la

valeur absolue de l'intégrale

, , sin nx

u;(a7) — dx

est inférieure à A?{^(-|- o) = A [©(-+- o) — 'f(c)]- Puisque ©(^) tend vers cp(-j- o) lorsque o: tend vers zéro, on peut d'abord choisir le nombre c assez voisin de zéro pour que A[(p(-ho) — ?(^)]

et - [?(-i- o) — ?(c)] soient inférieurs à • Le nombre c étant

choisi de cette façon, les deux termes restants ont pour limite zéro lorsque n augmente indéfiniment. On peut donc prendre n assez

grand pour qu'ils soient inférieurs en valeur absolue à -y et l'on a

(71) lim J = %(-+-o).

La formule précédente n'a été démontrée qu'en imposant à la fonction <p(^) un certain nombre de restrictions dont nous allons maintenant nous débarrasser. Si f (^) est décroissante sans être

positive, on peut toujours lui ajouter une constante positive C de façon que la somme ^{x) = ?(^) -h C soit positive et décroissante de o à h. La formule s'applique à cette fonction ^{x) et l'on peut écrire

/* , . sinnx , r 1 / V s'innx . ^ r sinno? ,

le second membre a pour limite -tj;(-f-o) C, c'est-à-dire

- ^(-i- o). Si la fonction ^{x) est croissante de o à A, — ^{x) est

décroissante et l'on a

Je , sinnic , C , ^ sinna? ,

] ^{x)—-^-dx^— —^(x)—~~dx;

rintégrale a encore pour limite - ?p(-}- o).

Supposons enfin simplement que la fonction o{x) satisfait aux conditions de Dirichlet dans l'intervalle (o, h). Nous pouvons partager cet intervalle en un nombre fini d^intervalles partiels (o, a), (a, è), (i, c), . . ., (/, h) dans chacun desquels la fonction ^(x) est croissante ou décroissante. L'intégrale de o à a a

pour limite - 'f (4- o); quant aux autres intégrales, telles que

H = / «p(ar) — -— dx,

elles tendent toutes vers zéro. Supposons, pour fixer les idées, la fonction ç(^) croissante de a à 6; nous pouvons, d'une infinité de manières, construire une fonction ^{x^ croissante de o à 6, continue de o à a, et coïncidant avec ©(o:) de a à 6. Les deux intégrales

Jf 4'(^) à^t I 4'(^) ^

ont l'une et l'autre pour limite ^(+ o) lorsque n augmente indéfiniment; leur différence, qui n'est autre que H, tend par conséquent vers zéro. La formule (71) est donc établie pour toutes les fonctions <f{x) qui satisfont aux conditions de Dirichlet dans l'intervalle (o, h).