IV. — SÉRIES TRIGONOMÉTRIQVES. — SÉRIES DIVERSES
Considérons main tenant l'intégrale définie
(7a) I = r f(x) i[;^^ dx {0<h < TZ),
où la fonction f{x) est positive et croissante de o à A. On peut encore écrire cette intégrale
et la fonction cp(ic) =f(^x) - — est positive et croissante de o à A; on a d'ailleurs /(-f- o) = 'f (-h o) et, par conséquent,
(73) liniI = -/(-^o).
La formule étant établie lorsque la fonction y( a;) est positive et croissante de o à A, on démontre ensuite de proche en proche, comme tout à Theure, qu'elle subsiste pour toute fonction /(x) satisfaisant aux conditions de Dirichlet dans l'intervalle (o, h),
197, Séries de Fourier. — Les séries trigonométriques dont les coefficients am et bm sont déterminés par les formules (67) sont généralement appelées séries de Fourier, C'est, en effet, Fourier qui a énoncé le premier ce théorème que toute fonction donnée arbitrairement dans un intervalle d'étendue 211 pouvait être représentée par une série de cette espèce; le moi fonction arbitraire signifiait pour lui une fonction représentée graphiquement par plusieurs arcs de courbe appartenant à des courbes que l'on regarde habituellement comme distinctes. Nous précisons cette définition un peu vague en nous bornant aux fonctions qui satisfont aux conditions de Dirichlet.
Pour démontrer qu'une fonction de cette espèce peut être représentée par une série de Fourier dans l'intervalle ( — tt, -f-7t), il nous faut trouver la limite de l'intégrale (68) lorsque m augmente indéfiniment. Partageons cette intégrale en deux autres,
ayant respectivement pour limites o et — -^ — — — et o, et
posons dans la seconde j^ = — z, nous pouvons encore écrire
TZ—JT
Si ^ est compris entre — tz et -t- ir, — — et ^^^ sont compris
entre o el tt et, d'après les résultats du numéro précédent, le second membre a pour limite, lorsque m augmente indéfiniment.
la série est donc convergente et a pour somme f{x)^ pour toute valeur de x comprise entre — ir et -f- tt. Supposons maintenant que X soit égal à Tune des limiles, — tc par exemple. On peut écrire
I r^ .. . sin(2m -J- Ov , - / /(— it-H2r)- r dy
it
I r"^ . . sin(2m -f-i)j ,
La première intégrale du second membre a pour limite
la seconde intégrale devient, en remplaçant^ par ir — z,
et a pour limite -/(t^ — o). La somme de la série trigonométrique est donc égale à /'^~? -^/(^^-^^ p^^^, ;r = — tc; il est clair
que la somme est la même pour j: = 7t.
Si, au Heu de considérera; comme une longueur portée sur une
