IV. — SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES. — SBRIES DIVERSES

droite, on considère x comme un arc porté sur la circonférence de rayon un^ la somme de la série en un point quelconque ni de la circonférence est la moyenne arithmétique des deux limites vers lesquelles tendent les deux sommes de la série en deux points m', /?i" de la circonférence, pris de part et d'autre du point /n, lorsque ces points /n', m" se rapprochent indéfîniment du point /w. Si les deux valeurs limites f{ — -îi -h o), /(ti — o) sont différentes, le point de la circonférence diamétralement opposé à Torigine des arcs est un point de discontinuité.

En résumé, toute fonction définie dans Vintervalle ( — t^, -f-it) et satisfaisant aux conditions de Dirichlet peut être représentée par une série de Fourier dans cet intervalle.

D'une façon générale, so\l f(^x) une fonction définie dans un intervalle (a, a+ air) d'étendue air, et satisfaisant aux conditions de Dirichlet. Il existe évidemment une fonction F(^), et une seule, admettant la période 27t et coïncidant avec/(^) dans Tintervalle (a, a 4- air); cette fonction F(^) est représentée, pour loute valeur de j:, par la somme d'une série Irîgonométrique dont les coefficients a^ et bm sont donnés par les formules (6^)

. -i-ic . „ -Kit

am~ - I F(x)cosmxdx^ bm= - j F(x)sinmxdx.

%j — fi *^ — 7j

Le coefficient a^t, par exemple, peut encore s'écrire, en supposant a compris entre 2 Ait — tt et 2 Atc -\- tc,

.■Jï ^a— î/it:

a,„=- / T{x)co%mx dx -^ — / ¥{x)cosmxdx\

la fonction F(x) admettant la période 27: et coïncidant avec /(a;) dans l'intervalle (a, a -h 211), on a encore

.îAir+n >,a-».tit

a,rt = - / f{x)cosnixdx-r' 1 f{x)cosmxdx

= - / f{x)cosmxdx.

On trouverait de même

(y5) àm= - I f{x)s\n/nxdx.

Lorsqu'une fonction f{x) est donnée dans un intervalle quelconque d'étendue ait, les formules précédentes permettent dr calculer les coefficients du développement en série de Fourîer, sans qu'il soit nécessaire de ramener les limites de l'intervalle à être — TT et -f- it.

198. Exemples. — i° Proposons-nous de trouver une série de Fourier dont la somme soit égale à — i pour x compris entre — tc et o et à -^ i pour X compris entre o et i:. Les formules (67) nous donnent

an— - I — dx -\ — / dx ~ Oy a,„^= - I — cosmxdx-i — / cofimxdx = o^

b,n~ - I — s\nmxdx-\ — / sin mxdx

__ '1 — cosmit — cos( — niTz) ^ /nir

b,n est nul si m est pair, et éfi'al à si m est impair. En multipliant tous

■^ ° rmz '^

les coefficients par - > on voit que la série

, ^ sino? sin 3^ sinfim -4- i).r

' "^ I ù 'ini

a pour somme — —> si ar est compris entre — ii et o, et h- - si a: est

compris entre o et it. Le point x — o est un point de discontinuité, et, pour a: = o, la somme de la série est o, comme cela doit être. D'une façon

générale, la somme de la série (7O) est égale à -^ lorsque sin a: est positif,

à — - lorsque sinx est négatif, et à o lorsque sin a? = o.

La courbe représentée par l'équation (76) se compose d'une infinité de

segments de droite de longueur ir sur les parallèles ^ = liz - à l'axe

des X, et d'une infinité de points isolés {y = o, x — kiz) sur l'axe des x. 2" Soit à trouver le développement de x en série de Fourier dans Tintervalle de o à 2?:. On a

aQrr= — I X ax = 2ir,

!/•*'' ^ |\rsinm.r |«« \ r^ . .

«m ~ - I xcos mxdx— I / sin/?ia7aj:— o.

r^Jo L '"^ Jo ''i-Jo

i r^ . , Vxcosmx]*^ I r*^ , •> b„i = - I X sin mxdx — ~\ h f cos mxdx — •