IV. — SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUKS. — SÉRIES DIVERSES

On déduit de là la formule

X ^ Tz sina: sin?.a: sinSa:

lit 2 3

qui est exacte pour toutes les valeurs de x comprises entre o et 7.7:. Si Ton remplace, dans la formule précédente, le premier membre par^, la courbe représentée par l'équation obtenue se compose d'une infinité de

serments de droites parallèles à la droite ^ — — et d'une infinité de points isolés.

Remarque. — Lorsqu'une fonction définie dans l'intervalle ( — i:, H-r) est paire, c'est-à-dihe telle que /( — x) =/{x)j tous les coefficients bm sont nuls, car on a évidemment

//(x)sïnmxdx = — / f{x)%\nmx dx.

Au contraire, si la fonction y( a?) est impaire, c'est-à-dire telle que

tous les coefficients am sont nuls, y compris a^. Une fonction /(a:) étant définie dans l'intervalle de o à tc seulement, on peut la prolonger dans l'intervalle de — ir à o en convenant de poser

/(- ^) =/(^) ou /(- X) = -/{x).

La fonction f(x) peut donc être représentée soit par une série dg^^nus, soit par une série de/cosinus, dans l'intervalle de o à tu.

199. Développement d'une fonction continue. Théorème de Weierstrass. — Soit^=/(a?) une fonction continue dans un intervalle (a, 6). On doit à M. Weierstrass une proposition remarquable dont voici l'énoncé : e étant un nombre positif donné à Vavance, on peut déterminer un polynôme P(x) tel que la différence /{x) — P(^) soit inférieure à e en valeur absolue pour toute valeur de x dans l* intervalle («, b).

Parmi les nombreuses démonstrations proposées pour ce théorème, une des plus simples est due à M. Lebesgue (*). Considérons d'abord le cas particulier suivant. Soit ^{x) une fonction continue dans l'intervalle de — I à -- 1, définie de la manière suivante : pour — 1 £a:'-Io, on a ^{x) = o, et pour o*\:r^ï, on a ^(x) = zkXj k étant un facteur constant donné. Nous pouvons écrire t]^(a7) -- Â-[a: -h ,':r| ]. D'autre part, pour les valeurs de X comprises entre — i et -h i , on a

(') Bulletin des Sciences mathématiques p. 278; 1898.

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et, pour ces mêmes valeurs de rr, le radical peut être développé en série uniformément convergente ordonnée suivant les puissances de (i — a?*): |a?|,et par suite ^J^C^)» peut donc être représentée dans cet intervalle» avec telle approximation qu'on voudra, par un polynôme. Prenons maintenant une fonction quelconque continue dans l'intervalle (a, b) et imaginons cet intervalle décomposé en n intervalles partiels (ao, ai), (ai, aj), .... (a^-i. Un), où a = ao< «1 < ^î<« • •< «/f-i< ûtrt = 6, de façon que

l'oscillation de f{x) dans chacun de ces intervalles soit moindre que -•

Soit L la liçne brisée obtenue en joignant de proche en proche les points de la courbe y t= f{x) d'abscisses ao, «i, aj, ..., b. L'ordonnée d'un point de cette ligne brisée est évidemment une fonction continue de l'abscisse o(ar) et la différence /(ar) — cp(j7) est en valeur absolue moindre

que -• En effet, dans l'intervalle (ûji-i. «ji), par exemple, on peut écrire

où T — ajx-i = 6(a|j. — aa-i). Le facteur 0 étant positif et inférieur à l'unité.

la différence y — 9 est moindre en valeur absolue que (i — 6-f-O)— -•

Cette fonction «p(j?) peut être décomposée en une somme de n fonctions

analogues à la fonction ^{x) de tout à Thcure. Soient, en effet, Aq, Ai,

As, ..., Kn les sommets consécutifs de la ligne polygonale L; ^{x) est

égale à la fonction continue ^1 représentée dans l'intervalle (a, b) par la

droite qui porte le côté AqAj, plus une fonction Oi représentée par une

ligne polygonale AJ, Aj . .. AJ, dont le premier côté A^AJ est sur l'axe O^;

01(07) est à son tour la somme de deux fonctions continues ^i et çt dont

la première, ^t^ est nulle entre a et a\ et est représentée par la droite qui

porte A', A, entre a^ et 6, tandis que çx est représentée par une ligne

polygonale AJA*AJ...A* dont les sommets AJ, AJ, AJ sont sur 0:r.

On arrive finalement à remplacer ^{x) par une somme de n fonctions

cp = 4*1 -r- 4*» "^ •••■+■ 4'«» ^^ ^i ®s^ ""^ fonction continue nulle entre a et a/, représentée par un segment de droite entre a/i et b. Si l'on fait le changement de variable X = mx -+- /i, en choisissant convenablement m et n, '^i sera défini dans l'intervalle ( — i, -hi) par l'égalité