IV. — SÉRIES TRIGONOMÂTRIQUES. — SERIES DIVERSES

çergente de polynômes dans cet intervalle. Prenons, en effet, une suite de nombres positifs décroissants ei, e^, ..., t„, ... le terme général tn tendant vers zéro lorsque n augmente indéfiniment. D'après le théorème précédent, à chaque nombre e/ de cette suite nous pouvons faire correspondre un polynôme P/(a:) tel que la différence /(a:) — P/(a?) soit inférieure en valeur absolue à 8/ dans tout l'intervalle (a, b). Cela étant, la série

Pi(^)-+-[Pi(^)-Pi(^)]-+-...-+-[P„(x)-P„,(ar)] -+-...

est convergente et a pour somme /(ar), lorsque x reste compris dans l'intervalle (a, 6). Il est clair, en effet, que la somme S» des n premiers termes est égale à P/t(a?); la différence f(x) — S„, qui est inférieure à e^, tend donc vers zéro lorsque n augmente indéfiniment. D'ailleurs, la série est uniformément convergente, puisqu'en prenant n assez grand la différence/(a?) — S» sera moindre qu'un nombre donné à l'avance pour toute valeur de x comprise dans Tintervalle (a, 6).

200. Fonction continue sans dérivée. — Nous terminerons ce Chapitre en donnant un exemple, dû à Weierstrass, de fonction continue qui n'admet de dérivée pour aucune valeur de la variable. Soient b une constante positive inférieure à l'unité et a un nombre entier impair; la fonction F(â:), qui est égale à la somme de la série convergente

(78) Y(x) = Vô^cosCa^itx).

est continue pour toute valeur de x, car la série est uniformément convergente dans tout intervalle. Si le produit ab est inférieur à un, il en est de même de la série formée par les dérivées; la fonction Y{x) admet donc une dérivée, qui est elle-même une fonction continue. Nous allons démontrer qu'il en est tout autrement si le produit ab est supérieur à une certaine limite.

Nous pouvons écrire, en désignant par m un nombre entier quelconque,

en posant

R;n= -r ^ 6« jcos[a'*it(a7-f- A)] — cos(a'*Tta7)j,

S;„= T ^ 6'»jcos[a'»7:(a:-+- A)] - - cos(a'*7ca7)j.

La formule des accroissements finis appliquée à la fonction cos(a'^Tzx) montre que la différence cos[a'»'7t(a7 -t- A)] — cos(o'*'icir) est inférieure en

valeur absolue à Tza^^lh], La valeur absolue de Rm est donc inférieure à

2 af'i hm — ï a"o^ = Tt ,

et, a fortiori, à ir — ^ .» si Ton suppose a6>i. Nous chercherons

maintenant une limite inférieure de la valeur absolue de S/», en donnant à Taccroissement h une valeur particulière. On a toujours

dm étant un nombre entier et Ç„i étant compris entre et H — • Nous

poserons

Cm étant égal à + 1 ; il est clair que h est du même signe que Cmy et infé-

rieur en valeur absolue à • Le nombre h étant choisi de cette façon,

on a

a étant impair et «,«=±1, le produit a'»-'"(a;„H- C/,,) est de même parité que a„j-i- 1 et, par suite,

cos[a"T,{x -h A)] ^- ( — i)«m-+-».

On a aussi

cos{a''Ttx) — cos(a'*-"»a'"7:a:) = cos[a«-"»ir(a,rt -h J/n)] = cos(a''-'"a,„'i:) cos(a'*-'"Ç,rt7u);

a" '"a,;, est de même parité que a^ et Ton a encore

co%(a^Tzx) = (— i)^m cos(a«-"*J,„Tr).

Nous pouvons donc écrire

- 2 b'^[i-i~cos(an-f»^„,Tz)\;

n=.tn

tous les termes de la série étant positifs, la somme de cette série est supérieure à son premier terme et, par suite, à 6"» puisque Ç,» est compris

entre et -^ • Par suite, nous avons

If m Sm I > T,-,

OU encore, en tenant compte -de la valeur de h.

[S,„i > jCaô)"'.

Supposons que l'on ait

rAab)"^> ' \ ; 6 ao — I

il suffira pour cela que l'on ait

Sir (8o) aô > IH ,

et la relation (79) prouve que Ton aura alors

3 au — I

Lorsque le nombre entier m augmente indéfiniment, il en est de même

de cette expression, tandis que la valeur absolue de h tend vers zéro. 11 est

donc possible, quelque petit que soit un nombre t, de trouver un accrois-

sèment h inférieur à e en valeur absolue et tel que — ^^ J- ^ —

soit supérieur en valeur absolue à tout nombre donné à l'avance. La fonction F(â7) n'a donc de dérivée pour aucune valeur de Xy pourvu que la relation (80) soit vérifiée.

i. Appliquer la formule de Lagrange au développement, suivant les puissances de a?, de la racine de l'équation y^= ay -\- x qui est égale à a pour a? = o.

2. Même problème pour l'équation y — a-r- xy"*-^^ — o. Application à l'équation du second degré a — bx -^ cx^ = o.

Développer, suivant les puissances de c, la racine qui tend vers j lorsque

c tend vers zéro.