COURBES ENVELOPPES

SOI. Recherche des enveloppes. — Étant donnée l'équation d'une courbe plane C

dépendant d'un paramètre arbitraire a, cette courbe varie en général d'une manière continue, de forme et de position, quand on fait varier ce paramètre. Si toutes ces courbes C restent tangentes à une courbe déterminée Ë, cette courbe E s'appellu V enveloppe des courbes C, qui sont dites les enveloppées. Les courbes C étant données, nous nous proposons de reconnaître si elles admettent une enveloppe et de la déterminer.

L'existence de cette enveloppe E étant admise, soient (a:, y) les coordonnées du point de contact M de la courbe E avec la courbe enveloppée C qui correspond à la valeur a du paramètre. Ces coordonnées x, y sont des fonctions inconnues du paramètre a, qui satisfont à l'équation (i). Pour achever de les déterminer, il nous faut exprimer que la tangente à la courbe décrite par le point M quand a varie coïncide avec la tangente à la

48o CHAPITRE X. — COURBES PLANES.

courbe G. Désignons par ùx et ùy les paramètres directeurs de la tangente à la courbe enveloppée, par -j- et -~ les dérivées des fonctions inconnues a:=:cp(a), j/r= •]/(«); il faudra que l'on ait

dx dy

, ^ da da

ox oy

Or la courbe G étant représentée par Féquation (i), où a a une valeur constante, on a la relation

qui détermine la tangente à cette courbe. D'autre part, les fonctions inconnues x = 'f («)> y = ^(^) vérifient aussi Téquation

où a désigne maintenant la variable indépendante, et, par suite, on a aussi

âx da dy da da

L'équation de condition (2) devient, en tenant compte des relations (3) et (4),

cette équation, jointe à la relation (i), détermine les deux fonctions inconnues x = ?(«)> y = ^(^)' On obtiendra donc r équation de l^ enveloppe, si elle existe, en éliminant le paramètre a

entre les deux équations f^^ o, % - = o.

Soit R(^, y)^=o\e résultat de l'élimination; nous allons examiner si cette courbe représente bien une enveloppe. Soient G© la courbe particulière correspondant à la valeur a^ du paramètre, et [xq^ yo) les coordonnées d'un point d'intersection Mo des deux courbes

les équations (i) et (5) définissent deux fonctions x = f{a^^