COURBES ENVELOPPES

^= ^{a), qui se réduisenl respectivement à a;o,^o pour a = a^y et l'on a évidemment, pour a = «o?

dxo\da/o àyQ\da/o '

cette relation, rapprochée de la relation (3), nous montre qu'ait point (xq^ yo) la tangente à la courbe Co coïncide avec la tangente à la courbe décrite par le point (x^ y)^ à moins que l'on n'ait à la

fois j— =o, -T^ =0, c'est-à-dire à moins que le point (xo, y^)

ne soit un point singulier de la courbe Gq. L^ éq nation K(Xf y) = 0 représente donc, soit l'enveloppe des courbes G, soit un lieu de points singuliers de ces courbes.

On peut compléter ce résultat. Si chacune des courbes G possède un ou plusieurs points singuliers, le lieu de ces points singuliers fait certainement partie de la courbe K^x^y) = o. Soient en effet (x, jk) les coordonnées de l'un de ces points singuliers; X et y sont des fonctions de a qui vérifient à la fois les trois relations

àf àf

et par suite aussi la relation ^ =0; x et ^ satisfont donc à

l'équalion R = o que l'on obtient en éliminant a entre les deux

relations /= o et ^ = o. Dans le cas le plus général, la courbe

R(a:, jk) = o se compose de deux parties analjliquement distinctes, dont l'une est l'enveloppe proprement dite, tandis que l'autre est le lieu des points singuliers.

Exemple. — Soit/(:c, ^, a)=y^ — y^-^{^ — ay=o; on

a ■/- = — 2.(x — a), et en éliminant aentre /*= o et ,- = o, on est da ^ ^ ''va

conduit à l'équation^* — y2.Q^ quj représente les trois lignes droites ^^=0, ^=4-1? ^== — 1« ^es courbes considérées se déduisent de la courbe^* — ^2^^2— -q en la faisant glisser parallèlement à Ox\ or, cette courbe a un point double à l'origine, et elle est tangente aux deux droites ^= zh i, aux points de rencontre avec l'axe dcsj^. La droite ^ = 0 est donc un lieu de G. ' 3i

points doubles, tandis que les deux droites ^=±1 constituent J'enveloppe proprement dite.

202. Lorsque la courbe C a une enveloppe E, les points de contact de la courbe C avec son enveloppe sont les positions limites des points d^ intersection de cette courbe avec une courbe infiniment voisine de la même famille. Soient, en effet,

(7) /(a^, r>û) = o> /(^,ri «^-^0 = o,

les équations des deux courbes voisines; le système (7) qui détermine les coordonnées des points communs peut évidemment être remplacé par le système équivalent

dont la dernière équation se réduit k j- = o, lorsque h tend vers

zéro, c'est-à-dire lorsque la seconde courbe se rapproche indéfiniment de la première. Celte propriété est du reste à peu près évidente géométriquement ; on voit, en effet, sur Id^fig. 87 (a) que

Fig. 37 a. Fig. 87 b.

deux courbes voisines C, C ont un point d'intersection N qui se rapproche indéfiniment du point de contact M lorsque la seconde courbe G' vient se confondre avec G. On voit de même sur la fig, 87 (6) que, lorsque les courbes (i) ont un point double, un des points d'intersection des deux courbes voisines C, G' vient se