COURBES ENVELOPPES

confondre avec le point double quand la courbe C se rapproche indéfiniment de la courbe C.

La remarque précédente explique bien pourquoi Ton doit trouver le lieu des points singuliers en même temps que l'enveloppe. Supposons, pour fixer les idées, que f{x^ y^ a) soit un polynôme de degré m en a. Pour un point M© pris au hasard dans le plan, de coordonnées (^o» J'o)? l'équation

(8) /(^o,ro, «) = o

admet en général m racines distinctes; il passe donc par ce point

m courbes différentes de la famille considérée. Mais si le point Mo appartient à la courbe R(^, y ) = o, on a à la fois

df

et l'équation (8) a une racine double. On peut donc dire que la courbe R(x, y) = o est le lieu des points du plan pour lesquels deux des courbes de la famille (i) qui y passent sont venues se confondre. Or les fig, 87 (a) et 3^ (fe) montrent précisément que lorsqu'un point se rapproche indéfiniment, soit d'un point de l'enveloppe, soit d'un point de la courbe qui est le lieu des points singuliers, deux des courbes C qui passent par ce point diffièrent très peu l'une de l'autre et viennent se confondre à la limite.

Remarque. — Il arrive fréquemment que l'on a à chercher l'enveloppe d'une courbe

dont l'équation renferme deux paramètres variables a et 6, liés par une relation (p(a, è) = o. Ce cas n'est pas distinct du cas général, car on peut considérer b comme une fonction de a définie par la relation cp = o. D'après la règle établie, il faut joindre à l'équation (9) celle que l'on obtient en égalant à zéro la dérivée du premier membre par rapport au paramètre a

dF dFdb^ da db da ^ '

mais de la relation ç(a, è) = o on tire

d^ dto db

da db da '