COVRBKS ENVELOPPES

et par suite

dy

—,~= — cota,

ce qui est précisément le coefficient angulaire de la droite D. Des équations (i4)) on tire aussi, en appelant s Tare de la courbe enveloppe,

ds = \/dx^ -\- dy^ = d= [/(a) +/'(«)] efx, et, par conséquent,

il suffira donc, pour avoir une courbe rectifiable, de prendre pour /(a) la dérivée d'une fonction connue (*).

Prenons, par exemple, /(a) = /sinacosa; en faisant successivement^ = o, et j? = o dans l'équation (i i), il vient {fig* 38) OA = / sina. OB = /cosQc, et par suite AB = /. La courbe cherchée est donc l'enveloppe d'une droite de longueur constante /, dont les extrémités décrivent deux droites rectangulaires. Les formules (i3) deviennent ici

a: = /sin'a, ^=/cos'a,

et l'équation de l'enveloppe est

c'est une hypocycloïde à quatre rebroussements, qui a la forme indiquée • sur la figure. Lorsque a varie de o à - y le point de contact décrit Tare DC. La longueur.de l'arc, compté à partir de D, a pour expression

3/sinacosa rfa = — sin'a.

Soient I le sommet du rectangle construit sur OA et OB, et M le pied de la perpendiculaire abaissée du point I sur AB. Les triangles AMI, APM

(') Dans la formule qui donne Tare

toutes les quantités qui figurent au second membre ont une signification géométrique : a est l'angle que fait avec Oj; la perpendiculaire ON menée de l'origine sur la droite mobile, /(a) est la dislance ON de l'origine à cette droite, /'(a) est, au signe près, la distance MN du point de contact de la droite mobile avec son enveloppe au pied N de la perpendiculaire abaissée de l'origine. On appelle quelquefois cette formule de rectification la formule de Legendre.

donnent successivement

AM = AI cosa = / cos'a, AP = AM sin a = / cos'a sina,

et par suite OP = OA — AP = /sin»a, de sorte que le point M est le point de contact de la droite AB avec son enveloppe. On a ensuite

BM = / — AM = /sin«a,

et par conséquent arc DM = - DM.