II. — COURBURE

cfo = ±ê = ± ^'

on en tire a par une quadrature

. r* ds

Js. ?(0

On a ensuite â? et^ par deux nouvelles quadratures

j? = a?ijH- / cosa ds, yzss.y^-^- j sina ds.

Ces courbes dépendent de trois constantes â?o, y^i olq; mais, si Ton n'a égard qu'à la forme et non à la position, on n'obtient en réalité qu'une seule courbe. Considérons, en effet, la courbe particulière G représentée par les formules

les formules générales peuvent s'écrire, en prenant d'abord le signe •+-,

a? = a?o-+- X cosao — Y sinso* y =j^o-l-Xsinao-+- Y cosa©;

ce sont les formules qui définissent une transformation de coordonnées. En prenant, de même, le signe — devant çp(5}, on obtiendrait une courbe symétrique de la courbe C. Une courbe plane est donc complètement déterminée, quant à la forme, si l'on connaît le rayon de courbure en fonction de l'arc. L'équation R = <p(5) s'appelle Véquation intrinsèque de la courbe. D'une façon plus générale, si l'on connaît une relation entre deux des quantités R, 5, a, la courbe est complètement définie de forme, et l'on peut obtenir les coordonnées par des quadratures. Ainsi, si l'on connaît R en fonction de l'angle a, R =/(a), on a ds ^f(a)dai, puis

dx = cosa/(a) rfa, dy = 8inai/{a)da;

et l'on obtient x et y par deux quadratures. Par exemple, si R est constant, on déduit de ces formules

a? = a7o-H R sina, y=yQ — Rcosa;

la courbe cherchée est donc un cercle de rayon R, résultat évident d'après la propriété de la développée. L'arc de cette développée devant être nul, il est clair, en effet, qu'elle doit ^c réduire à un point.

Proposons-nous encore de trouver une courbe plane dont le rayon de courbure soit inversement proportionnel à l'arc, R = — ; on a d'abord

puis

cos — r ds. y = I sin — - ds.

Quoiqu'on ne puisse pas obtenir ces intégrales sous forme explicite, il est facile de se faire une idée de la forme de cette courbe. Lorsque s croît de o à +00, â? et ^ tendent vers une limite finie, en passant par une infinité de maxima et de minima; la courbe a donc la forme d'une spirale, avec un point asymptote sur la droite j' = x.

m. — CONTACT DES COURBES PLANES.

211. Ordre du contact. — Soient G et G deux courbes planes tangentes en un point A. A chaque point m de la courbe G voisin du point A imaginons qu'on fasse correspondre, d'après une loi quelconque, un point m! de la- courbe G', de telle façon que le point m' vienne en A en même temps que le point m. En prenant comme infiniment petit principal l'arc Am, ou, ce qui revient au

Fig. 46.

même, la corde A/w, nous allons d'abord chercher quel mode de correspondance il faut adopter pour que l'ordre infinitésimal de mm! par rapport à h.m soit le plus grand possible. Rapportons pour cela les deux courbes à deux axes de coordonnées, rectangulaires ou obliques, l'axe desj^ n'élant pas parallèle à la tangente