I. — FONCTIONS d'une YARIABLB

mètre; les équations de la corde MM' sont

f^t-^h)-f{t) ocr-t-A)-o(0 W^h)--^{t)

Si l'on divise tous les dénominateurs de ces rapports par A, et qu'on fasse ensuite tendre h vers zéro, on voit que la corde MM' tend vers une position limite qui est représentée par les équations

ceci suppose, bien entendu, que les trois fonctions f{t)y <p(^), *L(^) admettent une dérivée. La détermination de la tangente à une courbe se ramène donc analjtiquement à un calcul de dérivées. Toute fonction qui admet une dérivée est nécessairement continue, mais la réciproque n'est pas vraie. Il est facile de donner des exemples de fonctions continues n'ayant pas de dérivée pour des valeurs exceptionnelles de la variable. Telle est la fonction ^= a: sin- pour x = o] lorsque x tend vers zéro, il en est de même de y et la fonction est bien continue, mais le rapport — r==sin" ne tend vers aucune limite, comme nous l'avons déjà observé.

Soit encore y=.n^\ cette fonction est continue pour toute

valeur de a: et l'on aj/' = opourx ==o; mais le rapport î^=a: 'croît

indéfiniment lorsque x tend vers zéro. Nous dirons pour ^r^ff^r que la dérivée est infinie pour ic =o; la courbe qui représente la marche de la fonction est tangente à Torigine à l'axe des j^.

La fonction y=^ x j- est nulle pour a;=o, mais le rap-

port — tend vers deux limites difl'érentes suivant que x tend vers

zéro en restant positif, ou en restant négatif. Lorsque x est positif

et très petit, e' est positif et très grand; le rapport- tend vers Tunité; au contraire, si^ est négatif et très petit en valeur absolue,

€' est très voisin de zéro et le rapport — a pour limite zéro. Il

existe donc deux valeurs distinctes pour la dérivée, suivant la façon dont x tend vers zéro; la courbe qui représente la marche de la fonction présente un ppint anguleux à l'origine des coordonnées.

On voit par ces exemples qu'il est facile de former des fonctions continues n'admettant pas de dérivée pour certaines valeurs particulières de la variable. Mais les inventeurs du Calcul infinitésimal et leurs successeurs n'avaient jamais mis en doute qu'une fonction continue n'eût en général une dérivée. Il y avait même eu quelques jentatives de démonstration, insuffisantes il est vrai, lorsque M. Weierstrass est venu trancher complètement la question, en donnant des exemples de fonctions continues qui n'admettent de dérivée pour aucune valeur de la variable (*). Ces fonctions n'ajant reçu jusqu'ici aucune application, nous ne nous en occuperons pas. Quand nous dirons par la suite qu'une fonction /(:c) a une dérivée dans l'intervalle (a, 6), il faudra toujours entendre par là, à moins de mention expresse, qu'elle admet une dérivée unique et finie pour chaque valeur de la variable comprise entre a et b,

6. Dérivées successÎTes. — La dérivée d'une fonction /(^) est elle-même en général une autre fonction de x^ f{^)\ si f^{x) admet elle-même une dérivée, on appelle la nouvelle fonction la dérivée seconde de f{x) et on la représente par le symbole y" o\xf"{x). On définira de même la dérivée troisième y ou f^"{x) comme la dérivée de la dérivée seconde, et ainsi de suite; d'une manière générale, la dérivée n^^^^y(n) ou/^"^ (x) est la dérivée de la dérivée d'ordre {n — i). Si, en prenant ainsi les dérivées successives, on n'arrive jamais à une fonction qui n'admet pas de dérivée, on peut imaginer cette suite d'opérations prolongée indéfiniment; la suite des dérivées de la fonction f{x) d'où l'on est parti est illimitée. C'est ce qui a lieu pour toutes les fonctions qui présentent jusqu'ici quelque intérêt pratique.

La notation qui précède est celle de Lagrange ; on se sert aussi

(*) Note lue à l'Acadéinie des Sciences de BerlÏD, le i8 juillet 1873. On trouvera d'autres exemples dans le Mémoire de M. Darboux, sur les fonctions discontinues {Annales de V École Normale Supérieure, t. IV; a^ série). Un exemple de M. Weierstrass est indiqué plus loin (Chap. IX).