II. -- DÉTERMINANTS FONCTIONNELS
Considérons, d'aiUre part, le déterminant
(Vi
0,r Oy ôx ôy
Ox ày
on démontre, comme tout à Theure, que ce déterminant est nul et, en le développant par rapport aux éléments de la dernière colonne, on a une relation de la forme
d*où Ton déduit
dZ
Oz
Ot
On verra de même que Ton a
Oz
' ùt
et il existe, dans ce cas, deux relations distinctes entre les quatre fonctions X, Y, Z, ï
Zr- *t(X, Y), T-*,^X, \);
il n'en existe pas d'autre, distincte de ces deux-là, car on en déduirait une relation entre X et Y et l'on devrait avoir -;— — ^- — ^=<»,
contrairement à Thypothèse. -
EnGn, si tous les mineurs du deuxième ordre du jacoblen étaient nuls, sans que les quatre fonctions X, Y, Z, ï se réduisent à des constantes, on verrait de même que trois d'entre elles sont fonctions de la quatrième. Le raisonnement qui vient d'être fait est évidemment général; si le jacobien des n fonctions Ff, Fj, . . ., F,| de /i variables indépendantes Xt, Xa, . . . , ^w, est nul, ainsi que tous les mineurs à /i ■ — /• -t- i lignes, l'un au moins des mineurs an — r lignes étant différent de zéro, il y a exactement r relations distinctes entre les n fonctions, et r d'entre elles peuvent s'exprimer au moyen des n — r restantes, entre lesquelles n'existr aucune relation.
Nous laisserons au lecteur le soin de démontrer la proposition
suivante, qui s'établit de la même façon. Pour que n fonctions de n-\-p variables indépendantes soient liées par une relation ne contenant pas ces variables, il faut et il suffit que les jacobiens de ces n fonctions, par rapport à n quelconques des variables indépendantes, soient tous nuls. En particulier, pour que deux fonctions Fj {x\, X2y . . ., J^/i) et F2(^i, J^2> • • • î -P//) soient fonctions Tune de Tautre, il faut et il suffit que les dérivées partielles cor-
respondantes - — et - — soient proportionnelles.
Bemarque. — Les fonctions F| , F2, . . . , F,,, qui figurent dans les énoncés précédents, peuvent dépendre en outre de certaines variables j^i, ^2? • • • ? ymj différentes des variables x^^x^^ . . . , .r«.
Si le jacobien w^-r^ — -' " '' — -- est nul identiquement, les fonc-
tions F|, F2, . . ., Frt sont liées par une ou plusieurs relations ne renfermant pas les variables Xi, X2i . . ., x„] mais les autres variables j^i, ^2? • • •? ym figureront en général dans ces relations.
Applications. — Le théorème précédent est d'une grande importance en Analyse. Par exemple, il permettrait de démontrer la propriété fondamentale du logarithme, sans se servir de la défînition arithmétique. On démontrera, en efîet, au début du Calcul intégral, qu'il existe une fonction bien définie pour toutes les valeurs positives de la variable, qui se réduit
à zéro pour x — i, et dont la dérivée est égale à -• Soity(a7) cette fonction ; posons
u =/{t) -4-/(7), V = xy.
on a
y oc
Il existe donc une relation de la forme
pour déterminer la fonction cp, il suffit de faire y =.1^ ce qui nous donne f(x)=: ç(ir), et, par suite, puisque x est quelconque,
/(^)-+-/(j)=/(.îy).
On voit comment la définition précédente aurait conduit^aux propriétés
