III. — CONTACT DES COURBES PLANES. 5oi

commune AT. Soient

les équations des deux courbes, et (xq? ^o) les coordonnées du point A ; les coordonnées du point m seront x^^-^-h el/(^o+ ^)i et celles du point m' seront de même j?o+ A: et F(^o-l-^)) A* désignant une fonction de h qui tend vers zéro avec A, et qui définit le mode de correspondance adopté entre les points des deux courbes. Observons encore qu'on peut remplacer Tinfiniment

petit principal Km par h = ap^ car le rapport -j-^ tend vers une

limite finie différente de zéro lorsque le point m se rapproche indéfiniment du point A.

Cela posé, admettons que, pour un certain mode de correspondance adopté, mm! soit un infiniment petit d'ordre r + i par rap-

port à h] mm' est alors un infiniment petit d'ordre ar -f- 2. Or on peut écrire, 8 désignant Tangle des axes,

mm! =[F(aroH-A:)— /(a?o-HA)-+-(A: — /t)cose]«-4-(A: — /0*siii«e; il faut donc que chacune des différences k — A et

soit un infiniment petit d'ordre r+i au moins, c'est-à-dire que

l'on ait

^ = A-i-aA'--Ki, F(aro-f-^)— /(a^o-HA)= pA*^',

a et ^ étant des fonctions de h qui restent finies lorsque h tend vers zéro. La dernière formule peut s'écrire

F(a?o-l- h -+- aA'H-i) — /(a:o-h h) = ^h^^ ;

si l'on imagine F(xo-i- A -f- a/i'^') développé suivant les puissances de a, la partie qui dépend de a est un infiniment petit d'ordre r + i au moins, la différence

est donc un infiniment petit d'ordre au moins égal à r-f- i, mais peut être d'ordre supérieur. Or cette différence A représente la distance mn des points des deux courbes G, C, qui sont situés sur

502 CHAPITRE X. — C0ITRBE8 PLANES.

une même parallèle à l'axe Oy. Piii'squ'en remplaçant le point m' par le point n on ne peut qu'augmenter l'ordre infinitésimal de mm'j on en conclut que la distance de deux points correspondants des deux courbes est de V ordre infinitésimal le plus grand possible lorsque les points correspondants sont situés sur une parallèle à l'axe Oy. Si cet ordre est égal à r-|- i, on dit que les deux courbes ont un contact d'ordre r au point A.

Remarques. — Cette définition donne lieu à un certain nombre de remarques. L'axe Oy est en définitive une droite assujettie à le seule condition de ne pas être parallèle à la tangente commune AT; on peut donc, pour évaluer Tordre du contact, faire correspondre les points des deux courbes situés sur une droite parallèle à une droite fixe D, non parallèle à la tangente. Le raisonnement précédent prouve que l'ordre infinitésimal obtenu ne dépend pas de la direction de la droite D; c'est ce qu'il est aisé de vérifier. Supposons, en effet, que par un point m de la courbe G on mène deux droites mm' et mn (fig. 46) parallèles à deux directions fixes autres que la tangente. Dans le triangle mm' ny on a

mm' sinmnm'

mn

sinmm'n

lorsque le point m se rapproche du point A, les angles mnnVj

m,m!n ont des limites différentes de o et de n, car la corde min ^ pour limite la tangente AT, et par conséquent mm! est du même ordre que mn. Le même calcul prouve que mm! ne peut pas être un infiniment petit d'ordre supérieur à m/i, quelle que soit la construction dont on déduit le point m' du point m, puisque le numérateur sin/nn/?r a une limite finie différente de zéro.

On a pris pour infiniment petit principal l'arc Km ou la corde A/n ; on aurait obtenu le même résultat en prenant pour infiniment petit l'arc A/i de la courbe C, car A/n et A/i sont du même ordre.

Lorsque deux courbes G, G' ont un contact d'ordre r, on peut imaginer une infinité de correspondances entre les points m, vrl des deux courbes de façon que mm! soit un infiniment petit d'ordre r-f-i. Il suffit de prendre Ar = A -f- aA'+*, s étant ^r,