III. — CONTACT DES COURBES PLANES. 5o

et a étant une fonction de h qui conserve une valeur Gnie lorsque h = o. Si l'on avait s<^rj mml serait d'ordre s -\- 1 seulement.

212. Pour avoir Tordre du contact des deux courbes C, C, il faut, d'après cela, évaluer l'ordre infinitésimal de

Y - j. = F(a?o-t- A) ~/(:ro-H A)

par rapport à h. Les deux courbes étant tangentes au point A, on a d'abord F(xo) =/(^o)> ^'(•^o) =/'(^o)> ™ais il peut se faire qu'un certain nombre d'autres dérivées des deux fonctions soient égales pour x^. Supposons, pour prendre le cas général, que l'on ait

( F(:ro)=/(a:o), F'(xo) =/'(a7o),

^'^^^ \ F'(2ro)=/'(^o), ..., F(«)(a7o)=/t«J(a7o),

les dérivées suivantes F^'»+*^(j;o) et /^''■*'*^(:ro) étant inégales. En appliquant la formule de Taylor aux deux fonctions F(a:) et/(a;), nous pouvons écrire

Y = F(a7o)-h - F'(aro)-H...

H ^^-— F(''H^o)-+- ^^ : [Ft«+t)(aro)-+-e],

et, en retranchant membre à membre,

e, e' étant infiniment petits. L ordre du contact des deux courbes est donc égal à V ordre des plus hautes dérivées des fonctions f{x) et F(a:), qui sont égales pour x = Xq»

Les conditions (28), données par Lagrange, expriment aussi que l'équation F(x)=/(x) admet x = Xo pour racine multiple d'ordre n + i» Or cette équation détermine les abscisses des points communs aux deux courbes C, C; on peut donc dire que deux courbes, qui ont un contact d'ordre n, ont n + i points d'intersection confondus en un seul.

5o4 CHAPITRE X. — COURBES PLANES.

La formule (24) montre que Y — y change de signe avec h lorsque n est pair, et ne change pas de signe lorsque n est impair. Donc deux courbes qui ont un contact d^ordre impair ne se traversent pas au point de contact, et deux courbes qui ont un contact d'ordre pair se traversent. Il est aisé de s'en rendre compte. Considérons, pour fixer les idées, une courbe C traversant la courbe C en trois points voisins du point A; si celte courbe C se déforme d'une manière continue, de façon que les trois points d'intersection viennent se confondre au point A, la position limite de C a un contact du second ordre avec G, et il suffit de faire la figure pour voir que les deux courbes se traversent au point A. Le raisonnement est évidemment général.

Lorsque les équations des deux courbes ne sont pas résolues par rapport aux ordonnées y et Y, ce qui est le cas général, les règles du calcul des dérivées permettent toujours de former les conditions nécessaires pour que les deux courbes aient un contact d'ordre n. Le problème n'oflre donc aucune difficulté spéciale. Nous examinerons seulement quelques cas particuliers, d'une application fréquente. Supposons d'abord que les coordonnées d'un point de chaque courbe soient exprimées en fonction d'un paramètre variable

et que pour une valeur particulière ^0 on ait à lafois<j^(/o)= ?('o)> i^^{tQ) = f'(^o)» de façon que les deux courbes soient tangentes au point A, de coordonnées /(^o), ?(^o)- Si /'(^o) n'est pas nul, ce que nous supposerons, la tangenie commune n'est pas parallèle à Oy, et l'on obtient les points des deux courbes qui ont même abscisse en posant u=^ t. D'autre part, x — Tq est du premier ordre par rapport à t — t^^ et nous sommes encore ramenés à évaluer l'ordre infinitésimal de i({t) — ©(^) par rapport k t — t^. Pour que les deux courbes aient un contact d'ordre n, il faut et il suffit que l'on ait

]|(. — CONTACT DBS COURBES PLANES. 5o5

et le contaclest d'ordre n seulement, si les deux dérivées ^^"■*'*^(^o) et ç^''"*"*^(^o) sont inégales.

Considérons encore le cas où la courbe C est représentée par les deux équations

la courbe G' ayant pour équation ¥{x^ y) = o. Ce cas peut se ramener au précédent; remplaçons x pdiv /{t) dans F{x^y) et sohy = ^{t) la fonction implicite définie par la relation

(27) F[/(0, 'KO] = o,

de sorte qu'on peut aussi regarder la courbe G comme représentée par le système des deux équations

Pour que les deux courbes C, C aient un contact d'ordre n au point A qui correspond à la valeur Cq du paramètre, il faut que les relations (^5) trouvées plus haut soient satisfaites. Or les dérivées successives de la fonction implicite ^[t)se déduisent des équations

ET t/ (')]■* 'E^/CHH')

c^*» F dF

on obtiendra les conditions du contact en faisant, dans ces formules, e — to, x = /{to)y à{to) = (f{to), A'(»/o)=?'(^o), ..., ^^''^(^to)= (f^'*^(to). Ces conditions peuvent s'énoncer comme il suit. Posons ^{t) = F[f{l)y ?(')]î pour que les deux courbes aient un contact d*ordre n au point t = to, il faut et il suffit que Von ait

(3o) ^(io) = o, ^'(<o) = o, ..., ^t«J(<o) = o.

L'équation ^(^) = o donne les valeurs du paramètre t qui correspondent aux points d'intersection des deux courbes. Les condi-

5o6 CHAPITRE X. — COURBES PLANES.

lions du conlact expriment encore que cette équation admet t =l * pour racine multiple d'ordre /i + i j c'est-à-dire que les deux courbes ont n + i points communs confondus en un seul.

213. Courbes osculatrices. — Étant donnée une courbe déterminée C, et une courbe C, dépendant de n -j- i paramètres a, b,

(3i) F(ir, j^, a, 6, c, ..., /) = o,

on peut choisir les valeurs de ces n -}- i paramètres de façon que la courbe G' ait aveo la courbe C, en un point donné à l'avance, un contact d'ordre n. Soient x =if(^c)f y = ç(^) les coordonnées d'un point de G; les conditions pour que les deux courbes G, C' aient un contact d'ordre n au point ^ = ^o sont données par les équations (3o), où Ton a posé

La valeur t^ du paramètre étant donnée, ces /i + i équations déterminent les n -H I paramètres a^ b^ c^ ...,/. La courbe G' ainsi obtenue est dite osculatrice à la courbe G.

Appliquons cette théorie aux courbes les plus simples. L'équation d'une droite y = ax -^ b dépend de deux paramètres a et 6; la droite osculatrice a donc un contact du premier ordre. Si y=zf(^x) est l'équation de la courbe G, les paramètres a et b doivent vérifier les deux relations

f(xo) = aa7o-+- b, /'(a?o) = «;

on retrouve l'équation de la tangente, comme on devait s'y attendre. L'équation d'un cercle

(32) (x — a)2 H- (^ — ^,)s — Rî = o

dépend de trois paramètres a, 6, R; le cercle osculateur a donc un contact du second ordre. Soit j^ =if(^x) l'équation de la courbe donnée ; on déterminera a, 6, R en écrivant que le cercle rencontre cette courbe en trois points confondus, ce qui donne, avec l'équation (3'2), les deux conditions

Les valeurs de a et 6 que l'on déduit de ces deux relations sont