III. — CONTACT DES COURBES PLANES
identiques aux coordonnëes du centre de courbure (n" 205); donc le cercle osculateur coïncide avec le cercle de courbure. Le contact élant du second ordre, nous pouvons en conclure que le cercle de courbure d^une courbe plane traverse cette courbe au point de contact.
Tous ces résultats pouvaient être prévus a priori. En effet, les coordonnées du centre de courbure ne dépendent que de ar, y^ y^ y"] deux courbes qui ont un contact du second ordre ont donc même centre de courbure. Or le centre de courbure du cercle osculateur est évidemment le centre de ce cercle lui-même; donc il y a identité entre le cercle de courbure et le cercle osculateur. Considérons, d'autre pari, deux cercles de courbure voisins; la différence des rayons, qui est égale à l'arc de la développée compris entre les deux centres, est supérieure à la distance des centres. L'un des deux cercles est donc tout entier intérieur à l'autre, ce qui ne pourrait avoir lieu si les cercles étaient tous les deux intérieurs ou tous les deux extérieurs à la courbe C, dans le voisinage du point de contact. Il faut donc qu'ils traversent la courbe C.
Il j a cependant sur une courbe plane certains points particuliers où le cercle osculateur ne traverse pas la courbe, et cette remarque se rattache à une propriété générale. Étant donnée une courbe C dépendant de /i + 1 paramètres, on peut ajouter aux (n -h i) équations (3o) la nouvelle équation
#(«+!) (fo)=0,
à condition de regarder t^ comme une nouvelle inconnue à déterminer. Il y a donc, en général, sur une courbe plane C, un certain nombre de points où le contact avec la courbe osculatrice C est d'ordre /i -H i* Ainsi, il y a des points où la tangente a un contact du second ordre; ce sont les points d'inflexion, pour lesquels y=o. Pour avoir les points où le cercle osculateur a un contact du troisième ordre, il faut différentier la dernière des équations (33), ce qui donne
^yy-^(y-b)y = o,
et, en éliminant j^ — 6, on est conduit à la condition
(34) (n-y«)>''"-3yj^'2=o.
5o8 CHAPITRE X. — COURBES PLANES.
Les points qui satisfont à cette condition sont ceux pour lesquels
on a -^ =o, c'est-à-dire où le rayon de courbure est maximum
ou minimum. Pour une ellipse, ce sont les sommets; pour une cjcioïde, les points où la tangente est parallèle à la base.
214. Une courbe osculatrice peut être regardée comme la position limite d'une courbe C, qui rencontre la courbe C en n-h-i ))oints infiniment voisins, lorsque tous ces points sont venus se confondre. Prenons, pour fixer les idées, une famille de courbes dépendant de trois paramètres a, 6, c, et soient ^o-h /^n ^o-\- A21 ^o-f-As trois valeurs voisines de lo] la courbe C qui rencontre la courbe C aux trois points correspondants est déterminée par les trois équations
(35) ^(/o-t-/ii) = o, :f(to-hht) = o, ^(to-^hi)^o.
Retranchons la première équation de chacune des deux autres, et appliquons aux deux différences la formule des accroissements finis, nous obtenons le système équivalent
(36) r1{to-h/ii) = o, J'(/o-+-A-,) = o, .i'ito-^ki) = Oy
où A*! est compris entre A| et A2, ^2 entre A| et A3. En retranchant de nouveau la seconde équation de la troisième, et appliquant la formule des accroissements finis, on arrive à un nouveau système
(37) ^(<o-+-Ai) = o, ^'('o-+-^*i) = o, ^'(to-\-li) = o,
Il étant compris entre k^ et A"2. Lorsque A|, Aj, As tendent vers zéro, il en est de même de A*i, ^21 /o 6t ces équations deviennent à la limite
ce sont justement les équations qui déterminent la courbe osculatrice. Le raisonnement est le même, quel que soit le nombre des paramètres, et l'on pourrait aussi définir la courbe osculatrice comme la limite d'une courbe G' tangente en p points à la courbe C, et la coupant en q autres points (où 2/) -H y = n -H i), lorsque ces p -{- q points viennent se confondre en un seul.
Par exemple, le cercle osculateur est la position limite d'un cercle passant par trois points de la courbe C infiniment voisins
m. — CONTACT DES COURBES PLANES. Sog
du point de conlact. C'est aussi la position limite d'un cercle tangent à la courbe C au point donné et passant par un autre point de la courbe C infiniment voisin du premier. Je m'arrêterai un instant sur cette propriété, facile à vérifier.
Prenons pour origine le point donné, pour axe des x la tangente, et pour direction positive de Oy la direction de la normale qui va vers le centre de courbure. Nous avons à l'origine ^'=o et, par
suite, R=-if» et nous pouvons écrire, d'après la formule de
Taylor,
^ = **(ïî"^')'
£ étant infiniment petit avec x. On déduit de là que R est la limite
de l'expression — = —tt^ lorsque le point M se rapproche du point O. Soit, d'autre part, R| le rayon du cercle Ci langent à
Fig. 47.
l'origine à l'axe des x et passant par le point M. On a
ou
OP =M/n =MP(2R, — MP)
OP ^ p MP
2iMP ~ * 2
la limite du rayon R| est donc bien égale au rayon de courbure R*
1. Appliquer les formules générales à la recherche de la développée de l'ellipse, de l'hyperbole et de la parabole.
2. Le rayon de courbure d'une conique est proportionnel au cube de la portion de normale comprise entre le point d'incidence et le point de reacontre avec un axe de symétrie.
3. Le rayon de courbure de la parabole est égal au double de la portion de normale comprise entre le point d'incidence et le point de rencontre avec la directrice.
4. Soient F et F' les foyers d'une ellipse, M un point de cette ellipse, MN la normale et N le point de rencontre de la normale avec l'axe focal. Si du point N on mène une perpendiculaire NK sur MN et que, par le point de rencontre K de cette droite avec MF on élève une perpendiculaire KO à MF, le point de rencontre O de KO avec MN est le centre de courbure de l'ellipse au point M.
5. Pour les sommets d'une ellipse situés sur l'axe focal, la construclioo précédente ne donne rien. Démontrer la construction suivante : soient AOA' l'axe focal, BOB' le petit axe; on trace le rectangle OAEB construit sur 0 A et sur OB et du sommet E on abaisse une perpendiculaire sur AB ; les points G et D où cette droite coupe les axes sont les centres de courbure relatifs aux sommets A et B.
6. La développée de la spirale logarithmique p = ae"*^ est une spirale égale à la première.
7. On appelle épicycloïde ou hypocycloïde la courbe décrite par un point d'une circonférence qui roule sans glisser sur une circonférence fixe. Démontrer que la développée de cette courbe est une courbe semblable.
8. Soit AB un arc de courbe sur lequel il n'y a ni points singuliers, ni points d'inflexion. En chaque point m de l'arc, on porte sur la normale, à partir de m, de part et d'autre, les longueurs mm\, mnif égales à une ligne donnée /; le point m décrivant l'arc AB, les points /ni, m^ décrivent deux arcs correspondants AiBj, A^Bj. Démontrer les relations suivantes : Si=S — /6, Sj= S 4- /6, dans lesquelles S, Si, Sj représentent les longueurs des arcs AB, A^B], AjB», 0 l'angle des normales extrêmes. On suppose que l'arc AiB}, situé du côté de l'arc AB où se trouve sa développée, ne rencontre pas cette développée.
[LicKNCE : Paris; juillet 1879.]
9. Déterminer une courbe G de façon que le rayon de courbure p en un point quelconque M de celte courbe et l'arc s = AM, compté à partir d'un
EXERCICES. 5l I
point fixe A, vérifient la relation a« = pS4-a>, dans laquelle a désigne
une ligne donnée. ,
[Licence : Paris; juillet i883.]
10. Soit G une courbe du troisième degré donnée, ayant un point double en O. Un angle droit MON tourne autour du point 0, et ses côiés rencontrent respectivement la courbe G en M et N. Déterminer l'enveloppe de la droite MN. Gonsidérer, en particulier, le cas où la courbe G a pour équation \y^^ a?', ou ar* -»-/•= ^xy,
[Licence : Bordeaux; juillet 1885.]
il. Trouver les points où la courbe représentée par les équations
a: = a(na) — sinco), y =z a{n — cosco)
a un contact d'ordre supérieur au second avec le cercle osculateur.
[Licence : Grenoble, juillet i885.]
12. Soient m, /ni, mi trois points voisins sur une courbe plane. Trouver la valeur limite du rayon du cercle circonscrit au triangle que forment les tangentes en ces trois points, lorsqu'ils viennent se confondre.
13. Si une courbe fermée sans point d'inflexion a une développée fermée, la longueur totale de cette développée est égale au double de la différence entre la somme des rayons de courbure maxima et la somme des rayons de courbure minima, pour tous les points de la courbe proposée.
14. Si Ton mène par chaque point d'une courbe une droite de longueur donnée faisant un angle constant avec la normale, la normale à la courbe, lieu des extrémités de celte droite, passe par le centre de courbure de la proposée.
15. Soient r le rayon vecteur mené d'un pôle fixe à un point d'une
courbe plane, p la distance de ce pôle à la tangente; le rayon de cour-
dr bure R a pour expression R = ± r -j- •
up
16. Le lieu des foyers des paraboles qui, en un point donné, ont un contact du second ordre avec une courbe donnée, est un cercle.
17. Lieu des centres des ellipses dont les axes ont une direction donnée, et qui ont, en un point donné, un contact du second ordre avec une courbe donnée.
