I. — PLAN OSCULATEUR

215. Définition et équation. — Soil M un point d^une courbe gauche F, MT la taDgente en ce poinl; le plan passant par la droite MT et par un autre point M' de F, infiniment voisin du point M, tend en général vers une position limite quand le point M' se rapproche de plus en plus du point M ; on appelle ce plan limite le plan osculateur à la courbe F au point M. Nous allons d'abord chercher son équation.

Soient

(1) ^=/(t), j^ = cp(o, ^ = H0

les formules qui donnent les coordonnées d'un point de F en fonction d'un paramètre, les points M et M' correspondant aux valeurs ^.et t-{-h de ce paramclre. Le plan MTM' a pour

équation

les coefficients A, B, C devant vérifier les relations

(3) A[/(<-i-/0-/(0] + B[cp(< + ;0-c?(0] + G[^.(^ + A)~4.{0]=o.

Remplaçons, dans la relation (3), /(i -h A), cp(f + /t), <t(^4-A) par leurs développements déduits de la formule de Taylor, elle neut encore s'écrire

AJ/i/'(0+^[/'(0 + ^i]j-HBJ/tcp'(o-+--^[cp'(0^-sj]j-^-.. = o;

en retranchant la relation (2) multipliée par A, et divisant le