I. — PLAN OSCULATEUB. 5l

résultat par — , on voit que le système des relations (2) et (3) est éi|uivalent au suivant

A/'(0 + Bcp'(0-+-C'y(0 = o,

2i, £2, £3 étant infiniment petits avec A. Lorsque h tend vers zéro, cette dernière relation se réduit à

(4) A/''(0-4-B9'(0 + Cii;'(0 = o.

L'équation du plan osculateur est donc

les coefficients A, B, C étant assujettis à vérifier les deux relations

L iSlcIx -h B r/K 4- C <i5 = o, ^^^ ( A rf*a7 -H B d'-y -h C c?*^ = o.

On écrit aussi quelquefois Téquation du plan osculateur sous forme de déterminant

dx dy dz

De tous les plans passant par la tangente, le plan osculateur est celui dont la courbe T se rapproche le plus dans le voisinage du point de contact. Considérons d'abord un plan, autre que le plan osculateur, passant par la tangente, et soit F(«) le résultat de la substitution de f(t + h), (f{t + A), J/(^ -|- A) à la place des coordonnées courantes X, Y, Z dans le premier membre de Téquation (5); nous avons

F(t)=^[Xr{t)^B^\t)-^CY{t) + r^l

Ti étant infiniment petit avec A. La distance d'un point de F, voisin du point M, est donc infiniment petite du second ordre; de plus,*^ F(^) conservant toujours le même signe lorsque A est très petii, on voit que la courbe F est tout entière du même côté du phni tangent dans le voisinage du point de contact.

11 n'en est plus de même avec le plan osculateur; pour ce plan, G. 33

5l4 GHAPITBE XI. — COURBES GAUCHES.

on a A/"H- B<p''+ 0^"^= o, et il faut pousser le développement des coordonnées d'un point de F jusqu'aux, termes du troisième ordre en A, ce qui donne après la substitution

P('> = ro ( d^ ^ ^)-

On voit que la distance d'un point de F au plan osculateur est infiniment petite du troisième ordre; en outre, F(^) change de signe lorsque h change de signe, ce qui prouve que la courbe gauche traverse le plan osculateur au point de contact. Ces propriétés distinguent nettement le plan osculateur de tous les autres plans passant par la tangente.

216. Plans oBculateurs stationnaires. — Les conclusions précédentes sont en défaut dans le cas où les coefficients Â, B, C de Féquation du plan osculateur vérifient la relation

(7) kd^x-^hd^y -irCd^z = 0;

dans ce cas, il faut pousser le développement des coordonnées jusqu'aux termes du quatrième ordre, et l'on obtient un résultat de la forme

^(') = tttm ( d/- -^ V'

On dit qu'en ces points le plan osculateur est stationnaire ; si A rf*x + B d^y 4- G d*z n'est pas nul, ce qui est le cas général, F(/) ne change pas de signe avec h et la courbe ne traverse pas son plan osculateur. De plus, la distance d'un point de la courbe au plan osculateur est du quatrième ordre. Si l'on avait encore Arf*x + Brf*j^ -H Crf*5 = o, il faudrait pousser le développement jusqu'aux termes du cinquième ordre, et ainsi de suite. En éliminant A, B, C entre les trois relations (6) et (7), on est

conduit à l'équation

dx dy ds

les racines de cette équation en t donnent les points de la courbe F où le plan osculateur est stationnaire. Il y a ainsi, d'une façon