I. ~ PLAN OSGULATBUR. 5l

normale, sar toute courbe gauche, un certain nombre de points jouissant de cette propriété.

Ceci nous amène à examiner s'il existe des courbes F dont tous les plans osculateurs soient stationnaires. D'une façon précise, cherchons toutes les fonctions x^ y^ z d'une variable /, continues ainsi que leurs dérivées jusqu'au troisième ordre, telles que le déterminant précédent A soit identiquement nul lorsque t varie entre deux limites a et 6 (a < 6).

Supposons d'abord que l'un des mineurs de A relatifs aux éléments de la troisième ligne, par exemple dxd^y — dyd^x^ ne s'annule pas dans l'intervalle (a, 6). Les deux relations

!dz = Cl dx-Jr ^\dy^ d^z = Cxd^x-^Qtd^y,

déterminent pour G| et G2 des fonctions continues de t dans cet intervalle; puisque A = o, ces fonctions satisfont aussi à la relation

(10) rf>z= Cirf»a?-4-G,rf»j^.

DifTérentions maintenant les équations (9) en tenant compte de la formule (10); nous obtenons les nouvelles équations

dCidX'^dCtdy = o, dCtd^x -^ dC^d^y = 0,

d'où nous tirons ^C| = c/Ga = o. Les coefficients Gi, Ca sont donc constants et, en intégrant la première des équations (9), il

vient

^ = da? -^ Cty -+- Cj,

Gs étant une nouvelle constante. La courbe F est donc une courbe plane.

Si le déterminant dxd*y — dyd^x s'annule pour une valeur c de la variable t comprise entre a et bj le raisonnement ne prouve plus rien, car les expressions de Ci et de Gj deviennent infinies ou indéterminées pour cette valeur c de t. Supposons, pour fixer les idées, que ce déterminant ne s'annule que pour cette valeur de t dans l'intervalle (a, b) et que, pour t = c, le déterminant analogue dxd^z — dzd^x ne soit pas nul. Le raisonnement qui précède prouve que tous les points de la courbe F obtenus en faisant varier t de a k c sont dans un même plan P, et que tous les points obtenus en faisant varier t de c k b sont dans un même plan Q. D'autre part, le mineur dxd^z — dzd^x n'étant pas nul pour

5l6 CHAPITRE XI. — COURBES GAUCHES.

t = Cj choisissons un nombre h assez petit pour que ce mineur ne s'annule pas en faisant varier ^dec — Aàc-hA. Tous les points de la courbe F obtenus en faisant varier t de c — h À c -h h sont encore dans un même plan R; ce plan B doit avoir une infinité de points communs avec les plans P et Q et, par suite, ces trois plans coïncident.

£n généralisant ce raisonnement, on en conclut que tous les points de la courbe F sont dans un même plan, lorsque les trois déterminants

dx d^y — dy d^x, dx d^z — dz d'^x^ dy d^z — dz d*y,

ne s'annulent pas simultanément dans l'intervalle (a, b). Si ces trois déterminants s'annulent en môme temps, il peut arriver que la courbe F se compose de plusieurs arcs de courbes planes situés dans des plans distincts, qui se rejoignent en des points où l'équation du plan osculateur est indéterminée (*).

Lorsque les trois mineurs précédents sont identiquement nuls dans un certain intervalle, la courbe F est une ligne droite, ou se compose de por-

dx lions de droites. Si, par exemple, -j- ne s'annule pas dans l'intervalle (a, b),

on peut écrire

d'^y dx — dy d'^x __ d^z dx — dz d^x

et Ton en conclut que l'on a

dy = Cidx, dz = C^dx^ Cl et Gs étant deux constantes; une nouvelle intégration donne ensuite

y = Cia7-f- C'i, -3 = CjiT-h C'j, ce qui montre que la courbe F est une ligne droite.

217. Tangentes stationnaires. — Ce qui précède nous conduit à étudier sur une courbe gauche certains points exceptionnels que nous n'avons pas encore définis; ce sont les points où l'on a

d^x d^y d^z^ ^*'^ "d^ '^ ~d/ "lu*

Njon dit qu'en ces points la tangente est stationna ire. On démontre aisément, en appliquant la formule qui donne la distance d'un point à une droite, que la distance d'un point de F à la tangente en un point voisin, qui est en général du second ordre, est du troisième ordre pour une tangente siationnaire. Si la courbe F se réduit à une courbe plane, les tan-

(*) Ce cas singulier parait avoir été signalé pour la première fois par M. Peano. 11 n'offre évidemment qu'un intérêt purement analytique.