I. ■— PLAN OSCULATEUR. 5l

geotes stationnaires sont les tangentes d'inflexion. Le calcul que nous venons de faire prouve que la seule courbe dont toutes les tangentes soient stationnaires est la ligne droite.

En un point où la tangente est stationnaire, on a A = o, et l'équation du plan osculateur se présente sous forme indéterminée. Mais cette indétermination n'est qu'apparente. En efl'et, si nous reprenons les calculs faits au début du n** 21.*$, en poussant le développement des coordonnées du point M' jusqu'aux termes du troisième ordre, et utilisant les relations (il), nous trouvons que l'équation du plan passant par la tangente en M et par le point voisin M' peut s'écrire

nn-^z, o'"(/)-^£, ^."'(o+^j

£], e^, £3 tendant vers zéro avec h. Ce plan tend donc vers une position limite parfaitement déterminée; on obtiendra l'équation du plan osculateur en remplaçant la seconde des conditions (6) par la suivante

A d^x 4- B d^y -\-Cd^z rr= o.

Si Ton avait aussi

djc dy dz

il faudrait remplacer la seconde des relations (6) par

A dix -i- B dny -+- C d'i z = o,

q étant le plus petit nombre entier, tel que cette relation soit distincte de A ^j^ -H B dy -h G ûTs = o. Nous laisserons au lecteur le soin de le démontrer, et d'étudier la position de la courbe par rapport au plan osculateur. Dans le cas général, où l'on n'a pas

kd'*x -^^d^y -\-Q.d'*z — Q^

un plan tangent quelconque est traversé par la courbe gauche, sauf le plan osculateur qui n'est pas traversé.

218. Application à quelques courbes. — Considérons en particulier les courbes gauches F qui satisfont à une relation de la forme

' (12) T dy — y dx = K dz,

K étant une constante donnée; de celte relation on déduit encore

( X d^y — yd^x = K d^ z,

\ xd^y — yd^x-hdxd-y — dyd'^x = Kd^z,

Étant donnée une courbe de cette espèce, proposons-nous de trouver les

Sl8 CHAPITRE XI. — COURBES GAUCHES.

plans osculateurs qui passent par un point donné (a, b, c) de Tespace.

Les* coordonnées du point de contact {x, y^ z) doivent satisfaire à

l'équation

dx dy dz

qui devient, en tenant compte des relations (la) et (i3), (i4) cty — bx'\-K(c — z) = o'j

les points de contact sont donc à Tintersection de la courbe gauche F et du plan représenté par l'équation (i4)} plan qui passe par le point (a, b, c). L'équation A = o, qui détermine les points où le plan osculaleur est stationnaire, devient de même, en remplaçant dz^ d*z et d^z par leurs valeurs,

A = r^ {dxd^y — dy d*xy = o;

on aura donc, pour ces points,

d^x d^y __ yd^x — xd^y __ d^z dx '^ dy ^ y dx — xdy ^ dz

ce qui montre que la tangente est stalionnaire.

Il est facile d'avoir des courbes gauches satisfaisant à la relation (12); il suffit, par exemple, de poser

a7 = A<'«, ^=B<«, z — Ctm-^-n^

A, B, G, m, n étant constants. Les courbes les plus simples sont la cubique gauche a; = ^, ^ = <', ^ = O, et la courbe gauche du quatrième ordre x = t, y ^ t^, z =^ <*• L'hélice circulaire

ar = acosf, ^ = asin^, z = Kt

répond aussi à la question.

Pour obtenir toutes les courbes gauches satisfaisant à la relation (la),

écrivons-la

d{xy — Kz) = iydx;

si Ton a

cette relation nous donne ^y/'{t) = ^'{t). En résolvant ces trois équations par rapport à .r, y^ z, nous obtenons les expressions générales des coordonnées en fonction d'un paramètre variable

(.5) «./(.), .-^y K. = 4£l^ll)-,(,,