II. — DÉTERMINANTS FONCTIONNELS

fondamentales des logarithmes, si leur invention n'avait précédé celle du Calcul intégral.

Pour donner une autre application, prenons un système de n équations à n inconnues Ui, u*, . . ., Un,

Fi(Wi, Uiy . . ., Un) = H», î >

l F«(mi, Ut, ..., a/i) = Hrt,

U|, Hs, ..., Ha étant des constantes ou des fonctions d'autres variables Xiy Xff ..., Xmi qui peuvent aussi figurer dans les fonctions F/«

Lorsque le jacobien -^ ** — ** "*' — ^ est identiquement nul, il y a entre

U(U], Mj, . . .y Un)

les A fonctions F/ un certain nombre de relations distinctes, soit n — X:, de la forme

Fjn-i = ni(Fi, ..., Fa), ..., F„ = Un-ki^i, • •., Fa);

pour que les équations (19) soient compatibles, il faut évidemment que Ton ait

H;t+i = ni(Hi, . . ., Hjt), . . ., H„ = H^^aCHi, . . ., Hjfc),

et, s'il en est ainsi, les n équations (19) se réduisent à k équations distinctes. On a donc les mêmes cas particuliers que dans la discussion d'un système d'équations linéaires.

29. Autre propriété du Jacobien. — Le jacobien d'un système de n fonctions de n variables présente des propriétés analogues à celles de la dérivée d'une fonction d'une seule variable. Ainsi le théorème précédent peut être considéré comme une e!L tension du théorème du n** 8.

La formule qui donne la dérivée d' une fonction de fonction peut de même être étendue au jacobien. Soient Fi, F2, . . ., F^ un système de n fonctions des variables Ut, U2y •••, iinj et supposons que Uif'U2t • ' "j u„ soient elles-mêmes des fonctions des n variables indépendantes oti, X2^ • • • , ^/i* On a la formule suivante

D(Ft, Ft, ..., Fn) ^ D(F|, F,, ...,Fn) ^ D(^i, u^, ..., Un) ^

D(ir,, Xt, ..., Xn) b(tti, Mj, ..., Un)' b(a?i. Xi, ..., Xn)'

dont la démonstration résulte immédiatement de la règle de multiplication des déterminants, et de la formule qui donne la dérivée G. 5

d'une fonclion composée. Écrivons en effet les deux délerminanls

dFi

âui

duf

dFn

• • • dFn

dui dui

àUn

âui

dui

âxi

dxi

dui

dXn àXft

ÔXx

àXn

en permutant les lignes et les colonnes du second; le premier élément du produit est égal à

dFy dui d¥x dut

dui dxi ôui âxi

dFi dun dun dxi

àF

c'est-à-dire à -7-^* et de même pour les autres.

OXi *

30. Hessien. — Soit/(iP, ^, z) une fonction de trois variables ar, y, z\ on appelle hessien le déterminant fonctionnel des trois dérivées par-

.. n àf df df

tielles -j-^ -£-y x"> ox oy àz

àxdy

àxày

dxdz

JIL

dy dz

âx dz âyâs dz^

le hessien se définit de la même façon pour une fonction de n variables, il joue un rôle analogue à celui de la dérivée seconde d'une fonction d'une seule variable. Nous allons établir pour ce déterminant une propriété d'invariance remarquable. Supposons qu'on effectue sur les variables x^y, z une substitution linéaire

X, Y, Z étant les nouvelles variables, et a, p, y> ••••Y* <les constantes telles que le déterminant de la substitution