partie principale est — ^« Ce théorème est dû à M. Bouquet
231. Développantes et développées. — On dit qu'une courbe Fi est une développante d'une autre courbe F, si les tangentes à la courbe F font partie des normales à la courbe F|; inversement, la courbe F est dite une développée de F<. Il est clair que toutes les développantes d'une courbe F sont situées sur la développable dont F est l'arête de rebroussemeiit et coupent orthogonalement les génératrices.
Soient x^ y^ z les coordonnées d'un point M de F, a, p, v les cosinus directeurs de la tangente, et / le segment MM« compris entre le point M et le point M| où une développante coupe la tangente en M; on a, pour les coordonnées de M^,
et, par suite,
dxi = dx-^ldoL-^-ddl, dyx = dy -h l d^ -i- ^ dly
dz\ = dz -{- 1 d-^ -h *{ dl.
Pour que la courbe décrite par le point M| soit normale à MM< , il faut et il suffit que l'on ait arfa:i+ ^rf^, 4-yrfzi = o, c'està-dire
OL dv -\- ^ dy -h -^ dz -h dl -r- l (cl da -h ^ d^ -h -{ d-^) = o,
relation qui se réduit k ds '^- dl = o. On obtient donc les développantes d'une courbe gauche F par la même construction qui donne les développantes d'une courbe plane (n** 206).
Proposons-nous maintenant de trouver les diverses développées
m. -- COURBURE ET TORSION DBS COURBES GAUCHES. 543
d'une courbe F, c'est-à-dire d'associer les normales à celte courbe suivant une loi continue, de façon à obtenir une surface développable ijig* 5o).
Fig. 5o.
Soient D une développée, ç Fangle de la normale MM| avec la normale principale MN, /le segment MP compris entre le point M et la projection P du point Mi sur la normale principale. Les coordonnées ^i, j^i, z^ du point M| sont données par les formules
irri = a: -h /a' -4- laU tangcp, Zx = -5 -f- /y' "+" ^ï" tang®,
que l'on obtient en projetant la ligne brisée MPM| sur les trois axes. La tangente à la courbe décrite par le point M| doit être la droite MM| elle-même, ce qui exige que l'on ait
dxx dyi dzx
désignons par K. la valeur commune de ces rapports; la condition rfX| = K(^i — x) s'écrit, en remplaçant x^ et dx\ par leurs valeurs, et se servant des formules de Frenet,
adsli— - j -+-a'(£//-h/tang9 -^ — K/j
H-a^L/C/tangtp) ^ — K/tang<p = o.
Les conditions rfyi=K(j^| — y), rfZ| = K(5i — z) donneront deux relations toutes pareilles, que l'on déduira de la précédente en remplaçant a, a', a" par ^, P', ^^^ puis par y, y, y. Le déterminant des neuf cosinus étant égal à un, le système formé par ces
trois relations est équivalent au suivant
( (i — ^jds^o, rf/-H/tang(p Y =K/,
d{lungtf) ;p- = K/tang(p.
On tire de la première /== R, ce qui montre que le point P est le centre de courbure, et la droite PM| la droite polaire. Par conséquent, toutes les développées d^une courbe V sont sur la surface polaire* Pour achever de déterminer ces développées, nous n'avons plus qu'à éliminer K entre les deux dernières relations (58), en y remplaçant / par R; il reste, toutes réductions faites, ds = T d^. L'angle f s'obtient donc par une quadrature
X' ds Y'
Si l'on considère deux valeurs de l'angle f, correspondant à deux valeurs différentes de la conslanle (fot 1^ différence de ces deux angles reste constante tout le long de la courbe F. On voit donc que deux normales de la courbe F, qui sont tangentes à deux développées différentes, se coupent sous un angle constant. Si l'on connaît une famille de normales à F engendrant une surface développable, on obtiendra toutes les autres développables formées de normales, en faisant tourner les premières d'un angle constant, d'ailleurs arbitraire, autour du point où elles coupent F.
Remarque /. — Si la courbe F est une courbe plane, T est infini, et la formule précédente donne cp = (po. La développée qui correspond à la valeur (po= o est la développée plane déjà étudiée, qui est aussi le lieu des centres de courbure. Les autres développées, en nombre infini, sont situées sur le cylindre ayant pour section droite la développée ordinaire : ce sont des courbes gauches, appelées hélices, qui seront étudiées au paragraphe suivant. Ce cas est le seul où le lieu des centres de courbure soit en même temps une développée. Pour que la relation (Sg) soit vérifiée en prenant y =o, il faut que T soit infini ou que A =o. La courbe est donc une courbe plane (n** 216).
Remarque II. — Si la courbe D est une développée de F, in-
m. — COURBURE ET TORSION DES COURBES GAUCHES. 545
versement F est une développante de D. On a donc, en appelant 5i Tare de la développée compté dans un sens convenable,
û?*, = û?(MMl); les développées d'une courbe sont donc des courbes rectifiables .
232. Hélices. — Soit G une courbe plane quelconque; si, de chaque point m de cette courbe, on porte sur la perpendiculaire au plan de G une longueur m M proportionnelle à Tare de la courbe G, compté à partir d'un point fixe A, le lieu du point M est une courbe gauche F, appelée hélice. Prenons pour plan des xy le plan de la courbe G, et soient
les expressions des coordonnées d'un point /n de G en fonction de l'arc 9; les coordonnées du point correspondant M de la courbe F seront
({\o) X=/{'J), j = çp(cj}, Z = K<T,
K étant un facteur constant. Les fonctions /* et cp vérifient d'ailleurs la relation /'*H- cp'* = î. Des formules (60) on tire, en appelant s l'arc de F,
É^5« =(/'*-+- Cp'2 -4- KS)ûfj«=(l-hK«)rf<T«
et, par suite, s = cy /i-f- K^-i- H ; si l'on compte les arcs ^ et 9 à partir d'un même point A de la courbe G, ce qui revient à faire H = o, on
aura 5 = <t /i -f- K*. Les cosinus directeurs de la tangente à F ont pour valeurs
(61) aL=-^\^, p=-l.^^^, Y =
Y étant indépendant de u, on voit que la tangente fait un angle constant avec O^. Gette propriété est caractéristique : Toute courbe dont les tangentes font un angle constant avec une direction fixe est une hélice. Pour le démontrer, prenons Taxe des z parallèle à cette direction, et soit G la projection de la courbe considérée F sur le plan des xy\ on peut toujours écrire les équations de la courbe F
(61) a: =/((!), j^=^cp((j), 5 = ij;((j),
les fonctions/ et «p satisfaisant à la relation /'*-h f'*= i, ce qui revient à prendre pour variable indépendante l'arc (t de la courbe G. On en déduit
dz ^'{<3) ^'
ds yjf'-'-^ îp'^ f- V* /i -^- ^'* '
pour que y soit constant, il faut et il suffit que i|/' soit constant et, par G. 35
suite, que ^(<j) soit de la forme Kv-hzo. Les équations de la courbe F seront de la forme (60), si l'on porte l'origine au point a? = o, y = o,
dy y' La formule — r- = tt nous donne ici, puisque, y est constant, y'= o. La as l\ 111
normale principale est donc perpendiculaire aux génératrices du cylindre; comme elle est, en outre, perpendiculaire à la tangente à l'hélice, c'est la normale au cylindre, et le plan osculateur est lui-même normal au cylindre. La binormale est donc située dans le plan tangent au cylindre et perpendiculaire à la tangente; ce qui montre qu'elle fait aussi un angle constant
avec Oz.
dy' y y"
La formule -^ = — ^^ — -l^ nous donne ensuite, puisque y' ~ o»
|- -4- Tp = O, ce qui prouve que, dans une hélice, le rapport -^ est constant.
Ces diverses propriétés sont caractéristiques d'une hélice. Démontrons,
par exemple, que toute courbe, pour laquelle le rapport -^ est constant, est une hélice, (J. Bertrand.) On tire des formules de Frenet
5? - ïp' " 57 ~ R ~ H '
si H est constant, on aura en intégrant
aV-Ha — A, P'r-Hp — B, /^Hy — G,
A, B, C désignant trois nouvelles constantes. Ajoutons ces trois équations après les avoir multipliées respectivement par a, p, y ' il vient
Aa-4-Bp-f-CY = H, ce qu'on peut écrire
Aa-hBp-4-CY H
v/ÂMnî*^ï^« ~ /A* -h B2 -+- G* '
mais — « y • sont les cosinus
^A2-i-B«-+-C*- v/A»-f-B*-+-C* \/A2-hB«-+-G« directeurs d'une certaine droite A, et la relation précédente exprime que la tangente fait un angle constant avec cette direction; la courbe considérée est donc une hélice.
Galculons encore le rayon de courbure. On a, en se reportant aux valeurs trouvées plus haut {61) pour a, p,
m. — COURBURE ET TORSION DES COURBES GAUCHES. 547
et par conséquent, puisque y'= o,
r-f-K* Le rapport — ^ — est donc indépendant de K; or, pour K = o, ce rapport se réduit à l'inverse - du rayon de courbure de la section droite G,
comme il est facile de le vérifier (n^ 205). La formule précédente peut donc s'écrire R = r(i-f-K*), ce qui montre que le rayon de courbure d'une hélice est dans un rapport constant avec le rayon de courbure de la courbe G.
Il est facile de déduire de là toutes les courbes pour lesquelles R et T
sont constants. £n effet, le rapport -^ étant constant, ces courbes sont
des hélices, d'après le théorème de M. Bertrand. De plus, R étant constant, il en est de même du rayon de courbure r de la courbe G. Gelie courbe G est donc une circonférence, et la courbe cherchée est une hélice tracée sur un cylindre de révolution, Gette proposition est due à M. Puiseux (•).
233. Courbes de M. Bertrand. — Les normales principales à une courbe plane sont en même temps les normales principales d'une infinitt^ d'autres courbes planes, parallèles à la première. M. J. Bertrand s'est proposé de trouver les courbes gauches dont les normales principales sont aussi les normales principales d'une seconde courbe gauche. Supposons les coordonnées x^y^ z d'un point exprimées en fonction de l'arc s\ sur chaque normale principale portons une longueur /, et soient \, Y, Z les coordonnées de l'extrémiié
Pour que la normale principale à la courbe F soit aussi la normale principale à la courbe F' décrite par le point (X, Y, Z), il faut et il suffit que l'on ait les deux relations
a'^X r-pVY-T-Y'^=-o,
a'(^^*Z - dZ d^ Y; -+- p'(rfZ d^\--d\ d^ Z) -+- i{d\ d^\ — d\ d^\) = o,
dont la signification est bien claire. On tire de la première dl = o, ce qui prouve que la longueur / doit être constante. En remplaçant ensuite dans la seconde dX, û?*X, rfY, ... par leurs valeurs déduites des formules ào Frenet et de celles qu'on obtient en les dilTérentîant, il reste, toutes rédiir-
(') La démonstration suppose qu'il s'agit de courbes réelles, car on a suppose' plus haut que A'4- B=-|- C^ n'était pas nul {voir la thèse de M. Lyon Sur les courbes à torsion constante, 1890).
tioDS faites,
et Ton en tire, en intégrant, la relation
/' désignant une nouvelle constante. Les courbes cherchées sont donc celles pour lesquelles il existe une relation linéaire entre la courbure et la torsion. On voit de plus que la condition est suffisante et la longueur / est donnée par la relation (65) elle-même.
Un cas particulier remarquable avait déjà été étudié par Monge; c'est celui où le rayon de courbure est constant. La relation (65) devient alors / = R, et la courbe T' représentée par les formules (64) est le lieu des centres de courbure de la courbe F. Des formules (64) on tire, en supposant / = R = constante,
dX = -^ a'ds, 6?Y = - 5 p'ds, ^ = - 5 ï'^*»
qui montre que la tangente à la courbe T' est la droite polaire de T. rayon de courbure R' de T' est donné à son tour par la formule
ce
Le rayo
- dd"^ 4 d'p -H d^^ ~ '
on voit que ce rayon de courbure est aussi constant et égal à R, et il y a réciprocité entre les deux courbes F, F'; chacune d*elles est Faréte de rebroussement de la surface polaire de l'autre. Toutes ces propriétés sont faciles à vérifier directement sur l'hélice circulaire.
Remarque, — Il est facile d'avoir des formules générales représentant toutes les courbes gauches dont le rayon de courbure est constant et égal à R. Soient a, p, y trois fonctions d'un paramétre variable satisfaisant à la relation a* -f- p* -+- y* = » • Les formules
(66) \=Kfadtj, Y = R Aé/(j, Z=^Cyd^,
où l'on a posé d<T = \/da'^-\- d^*-^ d^('^j représentent une courbe répondant à la question, et il est aisé de démontrer qu'on les obtient toutes de cette façon. En effet, ce, p, ^ ^^^^ précisément les cosinus directeurs de la tani;ente, et a est l'arc de l'indicatrice sphérique (n* 225).
