ET DES SURFACES

234. Contact de deax conrbes. — L'ordre de contact de deux courbes gauches se définit comme pour les courbes planes. Considérons deux courbes F, F', tangentes en un point commun A; soit M un point de F voisin de A, auquel on fait correspondre un point M' de F' d'après une loi quelconque, de telle façon que les deux points M, M' tendent simultanément vers le point A. Nous allons chercher quel est l'ordre infinitésimal maximum de MM' par rapport à l'arc AM considéré comme infiniment petit principal; si cet ordre est /i-Hi, nous dirons que les deux courbes ont un contact d'ordre n.

Rapportons les deux courbes à un système d'axes rectangulaires {*), le plan des ys n'étant pas parallèle à la tangente commune, et supposons d'abord leurs équations mises sous la forme suivante :

( z- ©(or), ( Z -=*(ar).

^i ^09 ^0} '^o sont les coordonnées du point de contact, les coordonnées des deux points M, M' sont respectivement

k étant une fonction de h qui dépend de la loi de correspondance établie, et qui s'annule avec h. On peut encore prendre h pour infiniment petit principal au lieu de l'arc AM (n® 211), et, pour que MM' soit un infiniment petit d'ordre /i + i, il faut que chacune des différences

— A, V{xQ-^k)—f{xQ-\'h), *(aro-+-^) — ?(^o-H^)

soit un infiniment petit d'ordre n + i siu moins. On doit donc

avoir