X- — A = aA«+», F(a7o-h k) — /(aro-4- h) = pA»+S

*(a7o-h A:) — <p(jro-H h) = Y^""^*»

a, ^, Y restant finis lorsque h tend vers zéro; en remplaçant k par

( ' ) Il est facile de voir que celte hypothèse n'est nullement nécessaire pour la suite, en se reportant à la formule qui donne la distance de deux points en coordonnées obliques.

55o CHAPITRE XI. — G0CRBE8 GAUCHES.

sa valeur /i-+-aA''+', les deux dernières conditions deviennent

F(aroH- A-4- aA«+i) — /(^oH- h) = p A^+ï,

En développant F(:ro-r A H-a/i"+») et 4>(a:o4- A -h aA*^*) parla formule de Taylor, tous les termes qui dépendent de a contiendront A''^* en facteur, et les différences

F(a7o-*- A) — /(a?o-t- /i)» *(a?o-+- A) — 9(xo-*- h)

devront être d'ordre /i -^ i au moins. Il s^ensuit que, si la dislance MM' est d'ordre /i + i, la distance MNdes points M, N des deux courbes qui ont même abscisse (xo4- A) est d'ordre n 4- i au moins. On obtiendra donc l'ordre infinitésimal maximum en faisant correspondre les points des deux courbes qui ont même abscisse»

Il est facile d'évaluer cet ordre. Les deux courbes étant tangentes, on a les relations

supposons que l'on ait en outre, pour prendre le cas général,

f'{xo) = F'(:ro), . .., f^Hxo) = F<«)(a7o),

l'une au moins des différences

F(«-»-*J(aro)— /^»+*Ka?o), «t^^+^^^o) — ç^'*-*-'\aro)

n'étant pas nulle. La distance MM' sera d'ordre n + i » et il j aura un contact d'ordre n. Le résultat peut encore s'énoncer comme il suit : Pour avoir l'ordre de contact des deux courbes F, T\ il suffit de considérer les projections (G, C) et (G|, C'i) de ces courbes sur les deux plans a:Oj^ eta:0.5, d'évaluer l'ordre de contact de G avec G', celui de G| avec G|, et de prendre le plus petit de ces deux nombres.

Lorsque les courbes F, F' sont représentées par les formules