II. — DÉTERMINANTS FONCTIONNELS

chaage en une nouvelle fonction F(X, Y, Z) des trois variables X, Y, Z. Soit U(X, Y, Z)le hessien de cette nouvelle fonction; nous allons démontrer que Ton a identiquement

H(X, Y, Z) = AtA(:r,j^, ^),

x^ y^z étant supposés remplacés par leurs expressions (19/ dans h(x^y, z). On a, en effet,

/c^F dF dF\ /dF ^1 *^V5x'5Y'dZ; ^\à\'d^

âF dF dF\

D(rr,jK, ^) *D(X, Y,Z)'

àf àf àf SI nous considérons, pour un moment, -r-» -r-> -r- comme des variables

^ ox ày oz

intermédiaires, on peut encore écrire

tdF ÔF dF\ làf àf df\ \dx' dy* dz)

Dix,y,z) 'D(X, Y, Z)

Or, de la relation F(X, Y, Z) =/(x,yy z)^ on déduit

dX dx ày dz

c^Y ^ dx^^ dy^^ dz'

àF àf , àf , àf

àZ

àx

et, par suite,

/c^F àF àF\ ^\àJi'd\'àz)

\àx^ ày' àzj

on a donc

et il est clair que le théorème est général.

Voici une application de cette propriété du hessien. Considérons une forme binaire cubique

f{Xyy) = aar'H- 3bx^y -i-Scxy^-^- dy*j

les coefficients a, b, c, d étant des constantes quelconques; on a, en négligeant un facteur numérique,

ax -+- by bx -+- cy

bx-{-cy cx-^- dy

— (ac — b^)x*'h{ad — bc)xy-^{bd'-c*)y^j

de sorte que le hessien est une forme binaire quadratique. Ecartons d'abord le cas particulier où le hessien serait un carré parfait; on peut le décomposer en un produit de deux facteurs linéaires distincts

h = (ma? -h ny){px -+- qy)-

Si Ton effectue la substitution linéaire

mar-t-nj = X, px -^ qy —X^

la forme /"(^j y) se change en une nouvelle forme

F(X, Y) = AX»-i-3BX«Y-+-3CXY»-f-DY»,

dont le hessien

H(X, Y) = (AG — B«)X«-i-(AD — BG)XY-i-(BD — C»)Y*

doit se réduire, d'après la propriété d'invariance qui vient d'être démontrée, à un produit de la forme KXY. Les coefficients A, B, C, D doivent donc satisfaire aux deux relations

B»— AG = o, BD — C«=o.

Si l'un des deux coefficients B, G était différent de zéro, il en serait de même de l'autre, et Ton aurait

F(X, Y) = 5^ (B»X« + 3B«CX«Y -+- 3BC«XY' -t- C'Y») = 1H.±JËU!,

de sorte que F(X, Y), et par suite /(a?, y)^ serait un cube parfait. En écartant ce cas exceptionnel, on voit que Ton aura B = G = o, et le polynôme F(X, Y) sera réduit à la forme canonique