I. - COURBURE DES COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE

239. Formule fondamentale. Théorème de Meusnier. — Pour cludier la courbure d^une surface en un point M non singulier, nous la supposerons rapportée à un système de trois axes rectan- <>;ulaires, Taxe des z n^étant pas parallèle au plan tangent. Si la surface est analytique, elle sera représentée par une équation de la forme

la fonction F(a:, ^) étant développable en série entière ordonnée suivant les puissances de a; — x^ et dey — y^ dans le voisinage du point considéré (jCoi J'^i ^o) (ï*** 194). Mais les raisonnements qui vont suivre n^exigent pas que la surface soit analytique; nous supposerons seulement que la fonction F(x, y) et ses dérivées parlielles du premier et du second ordre, que nous désignerons, suivant la notation de Monge, par/?, q^ r, 5, t^ sont continues dans le voisinage des valeurs Xo, J^o* D'après Téquation du plan tangent, les cosinus directeurs de la normale à la surface sont proportionnels à/?, 5^, — i; si l'on adopte comme direction positive celle qui fait un angle aigu avec O^, les cosinus directeurs X, p., v sont donnés sans ambiguïté par les formules

Soit C une courbe située sur la surface et passant au point M; l(*s coordonnées d'un point de celte courbe sont des fonctions d'un paramètre variable qui vérifient identiquement Téquation (1), oL dont les diilérentielles satisfont par conséquent aux deux rela-