I. — COURBURE DES COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE
tiens
(3) dz = p dx -h q dy,
(4; {fiz^pd^x-^-q d^y -t- r dx^ -^ is dx dy -{- t dy^ ;
la première de ces relations exprime que la tangente à la courbe C est située dans le plan tangent à la surface. Pour interpréter la seconde, nous exprimerons les différentielles au moyen d'éléments ayant une signification géométrique; or, si la variable indépendante est Tare <s de la courbe G, on a
dx d}
dtj^^'
^ff» " Il
= *» '±: = ?> -TT -- T, --r-r--îc> -r^ = -^T» -^==-»
a, P, Y» ^'9 P'j T'> ^ ayant la signification habituelle (n® 229). La formule (4) devient alors, en divisant les deux membres
par v^i -f-p^-h?^,
ce qui peut encore s'écrire, d'après les formules (2),
Mais le numérateur Xa'4- [jip'-f- vy^ représente précisément le cosinus de l'angle 8 que fait la direction de la normale principale à la courbe C avec la direction positive de la normale à la surface, et nous obtenons ainsi la formule fondamentale
cos6 ra*-;- •xsol'^, -h ^p*
qui est entièrement équivalente à la relation (4), et qui renferme par conséquent tout ce qui concerne la courbure des courbes situées sur la surface. Dans cette formule, le rayon de courbure R
et le radical y/ 1 -i-p'-i-q^^ sont des quantités positives, de sorte que cosô est du même signe que ra--t- 25aj3 -h t^^; le signe do celte quantité indique donc si l'angle 0 est aigu ou obtus.
Considérons d'abord toutes les courbes situées sur la surface, passant au point M, et ayant en ce point le même plan osculatcnr (distinct du plan tangent). Toutes ces courbes ont même lari-
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gente, l'intersection du plan osculateur avec le plan tangent à la surface; les cosinus a, j3, y ^^^^ donc les mêmes pour toutes ces courbes. D'autre part, si l'on mène dans le plan osculateur une perpendiculaire à la tangente, la direction de la normale principale coïncide avec l'une des deux directions que l'on peut considérer sur cette droite. Soit co l'angle de la normale à la surface avec l'une de ces directions; on doit avoir Q = w, ou 9 = i: — <o. Mais le signe de ra^-h 25aj3 -h t^^ indique si l'angle 0 est aigu on obtus; il s'ensuit que la direction de la normale principale est 1h même pour toutes les courbes considérées. L'angle 0 étant le même, il s'ensuit que le rayon de courbure R a aussi la même valeur et, par conséquent, toutes les courbes de la sur/ace passant au point M, et ayant en ce point le même plan osculateur, ont aussi le même centre de courbure.
Il suffit donc d'étudier la courbure des sections planes faites dans la surface. Nous étudierons d'abord comment varie la courbure des diverses sections planes faites dans la surface par des plans passant par une même tangente JVIT. On peut supposer, sans nuire à la généralité, que l'on a, pour cette tangente, ra?-h 2SCL^ + t^^ > o, car il suffit de changer la direction positive de 0>5 pour que r, 5, t changent de signe. Pour toutes ces sections planes, on a donc cos6>>o, et l'angle 6 est aigu. En particulier, soit R< le rayon de courbure de la section faite par le plan normal passant par MT; l'angle 8 correspondant est nul,
et l'on a
I __ ra'-f- isa^ -}- ^8*
Pour une section oblique dont le plan fait un angle 6 avec le plan de la section normale, le rayon de courbure R est donné par la formule (5). La comparaison de ces deux formules montre que l'on a
I rosG
OU R = R< cosO, relation qui exprime que le centre de courbure de la section oblique est la projection du centre de courbure de la section normale. C'est le théorème de Meusnier.
La formule précédente ramène Tétude de la courbure d'une
