I. — COURBURE DBS COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE

section oblique à Tétude de la courbure d\ine section normale. Nous exposerons tout à Theure les résultats dus à Euler; nous observerons d*abord que, pour une section normale, la formule (5) prendra deux formes différentes suivant le signe de ra^-h 25apH- t^^. Afin d'éviter cet inconvénient, nous conviendrons dorénavant de désigner par R le rayon de courbure d^une section normale affecté d'un signe, le signe + ou le signe — , suivant que la direction qui va du point M au centre de courbure coïncide avec la direction positive de la normale à la surface ou avec la direction opposée. Avec cette convention, R est donné dans les deux cas par la formule

qui fait connaître sans ambiguïté la position du centre de courbure.

De la formule (7) on déduit aisément la position de la surface par rapport à son plan tangent dans le voisinage du point de contact. Si Ton a 5^ — r/ < o, le trinôme ra^-f- a^a^ -t- /^^ conserve un signe constant, celui de r et de /, lorsque le plan sécant tourne autour de la normale; toutes les sections normales ont leur centre de courbure du même côté du plan tangent, et sont par conséquent situées du même côté de ce plan ; on dit que la surface est convexe au point considéré. Au contraire, si l'on a s^ — rt^o, le trinôme ra*-f- 2 5ajî -|- ^P^ s'annule pour deux positions particulières du plan sécant; les sections normales correspondantes présentent un point d'inflexion. Lorsque le plan sécant est dans l'un des angles dièdres formés par ces deux plans, R est positif, et la section est au-dessus du plan tangent; lorsque le plan sécant est dans l'angle dièdre supplémentaire, R est négatif et la section est au-dessous du plan tangent. La surface traverse donc le plan tangent dans le voisinage du point de contact; on dit qu'elle esta courbures opposées. Enfin, si s^ — rt= o, toutes les sections normales sont d'un même côté du plan tangent, sauf Tune d'elles qui a un rayon de courbure infini et qui traverse en général le plan tangent; on dit que le point est un point parabolique.

Il est facile de confirmer ces résultats par l'étude directe de la différence u = z — 5' des valeurs de z pour un point de la sur-

face et le point du plan tangent en M qui se projettent en un même point (^, y) sur le plan des xy. En effet, on a

et par suite, pour le point de contact (^o? J^o)> on a

du âz' du

puis

Si 5*^ — ri <C o, u est maximum ou minimum au point M (n® 56), et, comme u est nul en ce point, u conserve un signe constant dans les environs; au contraire, si s^ — ff^ o, il n'y a ni maximum ni minimum pour u^ qui, par conséquent, ne garde pas le même signe dans le voisinage du point M.

240. Théorèmes d'Euler. Indicatrice. — Pour étudier la variation en grandeur du rayon de courbure d'une section normale, imaginons qu'on ait pris pour origine le point considéré de la surface et pour plan des xy le plan tangent à cette surface. On a, dans ce système d'axes, p ^=^ q = o, et la. formule (7) devient

(8) -p — rcos*«p -H 25 coso sino — ^ sin*tt,

<p étant l'angle que fait avec Ox la trace du plan sécant sur le plan des xy. En égalant à zéro la dérivée du second membre, on trouve que R est maximum ou minimum pour deux directions rectangulaires. Afin d'étudier en détail la variation de R dans tous les cas particuliers possibles, il est commode d'employer la représentation géométrique suivante. Imaginons que sur la trace du plan sécant on porte une longueur Om égale à la racine carrée de la valeur absolue du rayon de courbure; ce point m décrira une courbe et il est clair que l'inspection de cette courbe supposée tracée fait connaître aussitôt la variation du rayon de courbure. Cela posé, examinons les trois cas possibles :

1" s^ — /7 <! o. Le rayon R a un signe constant; nous le supposerons positif. On a, pour les coordonnées du point m,

^ = y/l{cosy, 7, =^Rsincp. et Téquation de la courbe cliercliée