I. — COURBURE DES COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE
est par conséquent
cette courbe est une ellipse appelée indicatrice, qui a pour centre l'origine. On voit que R est maximum lorsque la trace du plan sécant coïncide avec le grand axe de Tellipse et minimum lorsque cette trace coïncide avec le petit axe, et que deux plans sécants dont les traces sont également inclinées sur les axes de Tindicatrice donnent la même valeur pour R. Les sections normales passant par les axes de l'indicatrice s'appellent les sections normales principales et les rayons de courbure correspondants sont les rayons de courbure principaux. Si l'on a pris pour axes des X et des y les axes mêmes de l'indicatrice, on a, dans ce sys~ i^me d'axes, 5 ^^ o, et la formule (8) devient
-- = /' cos-o -h / sin*o ; K
les rayons de courbure principaux R| et R2 s'obtiennent en fai-
ir 1 I
sant (5 : - o, ou o ^^ -• On a donc -r- -rz r. -.- = /, et par suite
I cos'o sin^o
2** 5* - rt >• o. Les sections normales correspondant aux valeurs de l'angle <p, racines de l'équation
/'cos-'o -t- 2 5 roso sin© -H ^ sin^t — o
ont un rayon de courbure infini. Soient L'^Oi^i, L!jOL2 les traces de ces deux plans sur xOy, Lorsque la trace du plan sécant est comprise dans l'angle L| OL2, par exemple, le trinôme est positif et, en employant la même représenlalion que dans le premier cas, on voit que la portion correspondante de l'indicatrice est représentée par l'équation
c'est une hyperbole ayant pour asymptotes les droites L,OL| et L2OL2. Lorsque la trace du plan sécant est comprise dans Tangle L^OLi, on aR<o et, pour avoir la portion correspondante de l'indicatrice, on doit poser
Ç = /— R coso, r^ = / — ^ sino,
ce qui conduit à Féquation de Thyperbole conjuguée de la précédente
L'ensemble de ces deux hyperboles conjuguées permet encore de se faire une idée de la variation du rayon de courbure d'une section normale. Si Ton prend pour axes de coordonnées les axes de ces hyperboles, la formule générale (8) prend encore la forme (îo), R« et R2 désignant les deux rayons de courbure principaux, dont Tun est positif, Tautre négatif.
30 52 — ,.^ __ Q Dans ce cas, le rayon de courbure R conserve un signe constant, le signe + par exemple. L'indicatrice est encore représentée par l'équation (9); mais cette courbe, étant du genre parabole et ayant pour centre l'origine, se compose forcément de deux droites parallèles. Si l'on a pris l'axe des y parallèle à ces deux droites, on doit avoir dans ce système d'axes 5 = 0, t r= o, et la formule générale (8) prend la forme
ou
I cos*c
R ~ ~Rr "
On peut aussi la considérer comme un cas limite de la formule (10), obtenu en supposant que l'un des rayons de courbure principaux Ra devient infini.
Les formules d'Euler peuvent aussi s'établir sans avoir besoin de la formule préliminaire (5). Le point de la surface étant pris pour origine et le plan tangent pour plan des xy^ on peut écrire, en poussant le développement de z par la formule de Taylor jusqu'aux termes du troisième ordre,
les termes non écrits étant du troisième ordre, ou d'ordre plus élevé. Pour avoir le rayon de courbure de la section faite par le plan ^ = artangç, on peut faire d'abord la transformation de coordonnées
X = ar'coso — ^'sino, y — :p'sincp -r-^'costp,
et poser ensuite j^' = o, ce qui donne le développement de z suivant les
