I. — COURBURE DBS COURRES TRACBB8 SUR UNE SURFACE

puissances de x*

r ros'© -«- ^5 sino coso -4- f sin*o ,.

z = .' • î L ar ' H- . . .

et, en appliquant la renaarque du n* 214, nous retrouvons la formule (8).

Remarques, — La courbe d'intersection de la surface par son plan tangent, qui a pour équation

présente un point double à l'origine, et les tangentes au point double sont précisément les tangentes asymptotiques. Plus généralement, si deux surfaces S, Si sont tangentes à Torigine au plan des xy^ la projection de la courbe d'intersection sur le plan des xy a pour équation

o = (r — ri)a7*-+- 2(5 — 5i)ar^-r {/ — <i)X*-»-. . .,

/*i, «1, fi ayant la même signification pour la surface Si que r, 5, i pour la surface S. La nature du point double dépend du signe de l'expression (5 — SxY — (r — ri)(/ — t^)\ si celle-ci est nulle, la courbe d'intersection présente en général un point de rebroussement.

En résumé, il existe en chaque point d'une surface quatre positions remarquables pour les tangentes à cette surface; deux tangentes rectangulaires pour lesquelles le rayon de courbure K est maximum ou minimum, et deux tangentes asymptotiques ou tangentes principales pour lesquelles R est infini. On obtient celles-ci en égalant à zéro le trinôme ra^-i- 2 5a3 -+- ^?^ (c/. n° 238). Nous allons montrer maintenant comment on détermine les sections normales principales et les rayons de courbure principaux dans un système d'axes rectangulaires quelconque.

241. Rayons dé courbure principaux. — A une valeur donnée pour R correspondent en général deux sections normales, dont le rayon de courbure correspondant a la valeur donnée ; il n'y a d'exception que si R est égal à l'un des rayons de courbure principaux, et il n'y a dans ce cas que la section normale principale correspondante qui admette ce rayon de courbure. Pour déterminer les sections normales dont le rayon de courbure est R, nous avons à déterminer a, p, y P^^ ^^^ trois relations

^ ^ =rg»-!-a«ap -t- t3', Y=J"* — îP" a' 4- P«-+- y*= «.

dont il est facile de former une combinaison homogène et de degré zéro en a, P,

le rapport ^ est donc fourni par Péquation

a*(i-+-/?î— rD)-i-2aP(/?5r — 5D)-h p»(i -+- ç''— /D) ^ o,

où Ton pose R = D ^i 4-/>^-hy^. Si cette équation admet une racine double , cette racine annule à la fois les deux dérivées partielles du premier membre par rapport à a et à [3,

(,^j ( a(n-^t-rD)-+-p(/>5r-;çD) = o,

j a(/?^ — 5D)-+- p(n- gr»— ^D) = o;

on éliminant a et P, on obtient l'équation qui donne les rayons de courbure principaux, équation qui s'écrit, en remplaçant D par sa valeur,

Si, au contraire, on élimine D entre les relations (12), on obtient une équation du second degré qui détermine les traces sur le plan tangent des sections normales principales

Diaprés la nature même de la question, les racines des équations (i3) et (i4) sont toujours réelles; ce qu'il est aisé de vérifier par un calcul direct.

Pour que l'équation en R ait ses racines égales, il faudra que rindicatrice soit un cercle, et toutes les sections normales auront alors le même rayon de courbure. Le second membre de la formule (i i) devra donc être indépendant du rapport -> et il faudra pour cela que Ton ait