I. — COIRBURE DBS COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE
On peut quelquefois déterminer, par des considérations géométriques, les sections normales principales d^une surface. Par exemple, si une surface S admet un plan de symétrie passant par un point M de cette surface, il est clair que la droite d'intersection de ce plan avec le plan tangent en M est un axe de symétrie de rindicatrice, et la section par le plan de symétrie est une des sections normales principales. Ainsi, en un point d'une surface de révolution, la méridienne est une des sections normales principales; le plan de la seconde section normale principale passe donc par la normale à la surface et la tangente au parallèle. Or on connaît le centre de courbure de l'une des sections obliques passant par la tangente au parallèle, le centre du parallèle lui-même. Il en résulte, d'après le théorème de Meusnier, que le centre de courbure de la seconde section principale est au point de rencontre de la normale à la surface avec l'axe.
En un point d'une surface développable, on a s^ — rt = o, et l'indicatrice est un système de deux droites. Une des sections principales se confond avec la génératrice elle-même, et le rayon de courbure principal correspondant est infini. Le plan de la seconde section principale est perpendiculaire à la génératrice. Tous les points d'une surface développable sont paraboliques, et ce sont les seules surfaces possédant cette propriété (n** 222).
Si une surface non développable est convexe en certains points, à courbures opposées en d'autres points, elle possède, en général, une ligne de points paraboliques qui sépare les régions pour lesquelles s^ — /7 est positif des régions pour lesquelles 5* — rt est négatif. Par exemple, sur le tore, cette ligne est formée des deux parallèles extrêmes.
Sur une surface convexe, il n'y a en général qu'un certain nombre d'ombilics isolés les uns des autres. On démontre comme il suit que la seule surface réelle dont tous les points sont des ombilics est la sphère. Appelons encore \, [i, v les cosinus directeurs de la normale à la surface; en diiïérentiant les formules (2), il vient
Ox
pqs — (i -^ f/^)r
dy -
pqt — - 1 -+- ^*).ç
dx '
pqr — {\-\-p'^)s (1 -+-/>«-+- ^»>2
dix
pqs— (\ -^ p^)t
relations qui deviennent, en tenant compte des formules (i5),
ày ~ ^ ôx ~ ^ dx ~ dy'
La première prouve que X ne dépend que de x^ la seconde que (x ne dépend
que de y; la valeur commune des dérivées -r-i -r- est donc à la fois indé-
ax dy
pendante de or et de ^ : c'est une constante — • On en tire
X — iPo
-(ar—a7o)* — (^— /o)*
y ro
et la valeur de «, obtenue par Tintégration, est
on retrouve bien l'équation d'une sphère. On verrait de même que, si l'on
a T— = ^ =0, la surface est un plan. Mais les relations (i5) admettent
en outre une infinité de solutions imaginaires, qui satisfont à l'équation I -h /)'-+- 9*= o, comme on peut le vérifier en differentiant cette relation par rapport à a? et par rapport à y.
