II. — LIGNES ÀSTMPTOTIQUBS. LIGNES CONJUGUÉES

long d'une ligne asymptotique, on doit avoir

(i6) rdx^-h^sdx {ty -^ tdy^= o.

L'équation de la surface étant supposée résolue par rapport à z, si Ton remplace r, 5, t par leurs valeurs en fonction des variables

x^yy on tire de Téquation précédente deux valeurs pour -^

nous verrons plus tard que chacune de ces équations admet une infinité d'intégrales, et que chaque couple de valeurs {x^y y^) détermine en général une intégrale et une seule. Par chaque point de la surface il passe donc en général deux lignes asjmptotiques et deux seulement; leur ensemble forme un double système de lignes sur la surface.

On peut encore définir les lignes asymptoliques par la pro-^ priélé suivante qui ne fait intervenir aucune relation métrique. Ce sont les lignes de la surface dont le plan oscillateur coïncide avec le plan tangent. En effet, pour que le plan osculateur coïncide avec le plan tangent, il faut et il suffit que Ton ait à la fois (n« 215)

dz — pdx — q dy = o^ d-z—pd^x — q d'^y =^o\

la première relation est vérifiée pour toute courbe située sur la surface et, en la diff'érentiant, il vient

d*z —pd^x — q d^y — dp dx — dq dy — o.

La seconde condition peut donc être remplacée par celle-ci, ne renfermant que les diff'érentielles du premier ordre

(18) dp dx -^ dq dy r-. o^

qui est identique à la relation (16). D*ailleurs, il est facile de se rendre compte de Tidentité des deux définitions. Le rayon de courbure de la section normale tangente à une asymptote de l'indicatrice étant infini, il en serait de même, diaprés le théorème de Meusnier, du rayon de courbure de la ligne asymptotique, à moins que le plan osculateur ne soit perpendiculaire à la normale et, dans ce cas, le théorème de Meusnier devient illusoire. Le plan osculateur à une ligne asymptotique doit donc coïncider avec le

plan tangent, à moins que le rayon de courbure ne soit constamment infini ; dans ce cas, on aurait une ligne droite, dont le plan oscillateur est indéterminé. Il résulte évidemment de cette propriété que les lignes asymptotiques se conservent dans toute iransformatibn homographique. On voit aussi que Téquation différentielle est la même, que les axes soient rectangulaires ou obliques, car Téquation du plan osculateur est toujours la même. Les lignes asymptotiques d'une surface S n'existent évidemment que si la surface est à courbures opposées. Cependant, lorsque la surface est analytique^ l'éqûalion différentielle fi6) admet toujours une infinité d'intégrales, réelles ou imaginaires, quel que soit le signe de s^ — rt. Par extension, nous dirons qu'une surface convexe analytique admet deux systèmes de lignes asymptotiques imaginaires. Ainsi, les lignes asymptotiques d'un hyperboloïde à une nappe sont les deux systèmes de génératrices rectilignes; pour un ellipsoïde ou une sphère, ces génératrices sont imaginaires, mais elles satisfont encore à l'équation différentielle des lignes asymptotiques.

Exemple. — Soit à trouver les lignes asymptotiques de la surface on a

Ht \»/»-S

r " mi m — })x"^~-y^y s = mnW"~^y" '. t — ni n -- i u'"} et Téqualion différentielle (16) peut s'écrire

m{m — I ) *- , - — 2 mn ( — >- — /m /i — 1 ) ~ o.

V dx On en lire deux valeurs, h^ et /îj, pour le rapport -—y-; les deux familles

X cly

de lignes asymptotiques se projettent sur le plan des xy suivant les

courbes

243. Équation différentielle en coordonnées quelconques. — Supposons les coordonnées d'un point d'une surface exprimées au moyen de deux paramètres variables m, t%

(19) x^-f[u,v), y — o(u,v), z = ^(UyV):

nous partirons de la seconde définition pour établir l'équation différentielle des lignes asymptotiques. Formons d'abord Téqua-