II. — LIGNES ASYMPTOTIQUBS. LIGNES CONJUGUÉES. 't'i
tion du plan tangent
les coefficients A, B, C doivent satisfaire aux deux relations
( A --^ -4- B -° C ^i — \ du ' du Ou ~~ *
l oi^ ov àv
qui déterminent les rapports de deux des coefficients A, B, C au troisième (n° 39). Ces coefficients étant calculés, on doit avoir pour une ligne asymplolique
X dx 'ï^ dy —Cdz — o, A d'x^Bd^y-r-Cd^z =o\
la première est encore satisfaite d'elle-même, et, en la différentiant, on voit que la seconde peut être remplacée par
( ta) d\ dx -T- dB dy -^ dC dz = o;
c'est Téquation différentielle cherchée. Si, par exemple, on prend dans les formules (21) C=-^ — i,AetB représentent respectivement les dérivées partielles p et q de z par rapport à ^ et à ^', et l'équation (22) est identique à Téquation (ï8).
Exemples. — Prenons par eiiemple la surface conoïde -3 = ^( — ) • On peut poser x = Uj y — uv^ z — o(ç), et les relalions (-21) deviennent
A-i-Bt' — o, Uu ^-G©'(t') — o;
on y satisfait en prenant C ^ — a, A = — vo'(v), B = ©'(t»), et Téquatioii différentielle (22) est ici
u çp' ( (- ) dv"^ — 2 o'( r ) du dv — o.
« On a d'abord la solution y = const. qui donne les génératrices rectilignes :
en divisant par dv^ il reste l'équation
'd'où l'on tire a' = G^'(ç'), et les projections des lignes asymptotiques du second système sur le plan des xy ont pour équation
x'^^ Go'('- ).
• \xj
plan tangent, à moins que le rayon de courbure ne soit constamment infini; dans ce cas, on aurait une ligne droite, dont le plan oscnlateur est indéterminé. Il résulte évidemment de cette propriété que les lignes asymptotiques se conservent dans toute transformation homographique. On voit aussi que Téquation différentielle est la même, que les axes soient rectangulaires ou obliques, car Téquation du plan osculateur est toujours la même. Les lignes asymptotiques d'une surface S n'existent évidemment que si la surface est à courbures opposées. Cependant, lorsque la surface est analytique, Téqûalion différentielle (i6) admet toujours une infinité d'intégrales, réelles ou imaginaires, quel que soit le signe de 5^ — rt. Par extension, nous dirons qu'une surface convexe analytique admet deux systèmes de lignes asymptotiques imaginaires. Ainsi, les lignes asymptotiques d'un hyperboloïde à une nappe sont les deux systèmes de génératrices rectilignes; pour un ellipsoïde ou une sphère, ces génératrices sont imaginaires, mais elles satisfont encore à l'équation différentielle des lignes asymptotiques.
Exemple. - Soit à trouver les lignes asymptotiques de la surface
z — x^y^ ; on a
r r= m{m — i)x"^-'y", s = mnx'»~^y" '. ( — n{n — i )j'"'y"-*,
et l'équation différentielle (16) peut s'écrire
i VilT^ ■ I vdx ^ .
m (m — I ) - ,- — 2 mn ( - -y-- \ — /n n — i ) — o. \ X liy ! \ X dy /
V (Jix On en lire deux valeurs, Ai et /i2, pour le rapport 7--,— ; les deux familles
X ciy
de lignes asymptotiques se projettent sur le plan des xy suivant les courbes
2i3. Équation différentielle en coordonnées quelconques. —
Supposons les coordonnées d'un point d'une surface exprimées au moyen de deux param.ètres variables m, v^
nous partirons de la seconde définition pour établir l'équation différentielle des lignes asymptotiques. Formons d'abord l'équa-
H. — LIGNES ASYMPTOTIQUES. LIGNES CONJUGUÉES. 'i-'i
tion du plan tangent
les coefficients A, B, C doivent satisfaire aux deux relations
/ . f)/ do r^ à^
\ du du Ou '
\ ôv ov dv
qui déterminent les rapports de deux des coefficients A, B, C au troisième (n° 39). Ces coefficients étant calculés, on doit avoir pour une ligne asymptotiqiie
\ dx - B dy -^ Cdz — o, A d^x r-^d^y-r-Cd^z -=o:
la première est encore satisfaite d'elle-même, et, en la différentiant, on voit que la seconde peut être remplacée par
( TA ) dK dx -v dh dy -r- ^G dz ^ q\
c'est Téquation différentielle clierchée. Si, par exemple, on prend dans les formules (2i)C^^ — i,AetB représentent respectivement les dérivées partielles /? et y de z par rapport à ^ et à y^ et l'équation (22) est identique à l'équation (18).
Exemples. — Prenons par exemple la surface conoïde 5 — ?p [ — 1 • On peut poser ar = m, y = uv^ z — ^(v), et les relations Cai) deviennent
A-hBv — o, Bw f-G©'(i) — o;
on y satisfait en prenant G — — a, A =-- — p^'(i^). B = o'(p), et l'équation différentielle (22) est ici
wcp' ( i") rfç>*— 10' {v) du dv — o.
On a d'abord la solution p = const. qui donne les génératrices rectiligne*-: en divisant par dv^ il reste l'équation
îi" (v)di' •>. dtt
'd'où l'on tire a* = Go'(p), et les projections des lignes asymptotiques du second système sur le plan des xy ont pour équation
--Go'(-)
574 CUAPITBE XII. — SURFACES.
Citons encore les surfaces signalées par M. Jamet, dont Téquation peut être ramenée à la forme
En prenant pour variables indépendantes z et ^ = u, Téquation diiïérentielle des lignes asymptotiques est
v.l s'intègre par deux quadratures.
Une surface hélicoîde est représentée par les équations
a?=rpcosto), ^ = psinai, z ~/{p) -h hu»;
nous laissons au lecteur le soin de démontrer que Téquation différentielle des lignes asymptotiques est
Pfi p)dp'—:ihdiùd(>-k- p^/'(p) dta^ = o ; on en tire encore (o par une quadrature.
244. Lignes asymptotiques des surfaces réglées. — D'une façon ^^énérale, rélimination de A, B, C entre les équations (21) et la relation Ad^x -i-Bd^y -hCd^z = 0 conduit à l'équation différentielle des ligues asymptotiques
du
du
du
àf
d^ dv
Cette équation ne ren Terme pas les différentielles du second ordre d^u Q\.d^v\ on a, en effet,
d'^x =iLdUi-^%d^i>-^'^du^^7. -pÇ- du dv -h ^^dv\ du dv du^ dudv dv^
(U l'on a pour d^y et d^z des expressions analogues. En retranchant de la troisième ligne du déterminant (aS) la première ligne
