II. — LIGNES ASYMPTOTIQUBS. LIGNES CONJUGUEES. Sj

mullîpliée par d^u et la deuxième multipliée par d^v^ il reste

du*

if du

àv

dyf

do d^

du du

dv dv

Oudv

du du

d\f dv*

dv*

en développant par rapport aux éléments de la troisième ligne et ordonnant par rapport à du et dç^ cette équation s'écrit

Ddu^-^-iD'dudv-i- D'dv*=o,

D, D', D'' désignant les trois déterminants

1 dx du

dy du

dz du

dr du

ày

dz du

dx dv

dy dv

dx dv

ày

dz dv

du*

du dv du dv

dudv

dx du

dx dv

d*x dv*

ày

dv*

dz dv

d*z dv*

Considérons, pour donner une application, les surfaces réglées. Toute surface réglée est représentée par des équations de la forme

X = Xo ^-OLu, y =yo-^?u, z^Zo-^yu,

^07 ^0» ^0} ^> ^) Y étant des fonctions d'un second paramètre variable i^. Lorsqu'on fait u = o,le point (^oi J^o? ^o) décrit une certaine courbe F sur la surface; au contraire, lorsque, v restant constant, on fait varier a, le point décrit une génératrice recliligne et la variable u est proportionnelle à la distance du point (a:, y^ z) au point (xo, yoy ^o) de la courbe F. On voil immédiatement sur les formules (^5) que dans ce cas on a D = o,

576 GHAPITHE XII. — SURFACES.

tandis que D' esl indépeadant de u; quant à D"^,

c'est un polynôme du second degré en u. En divisant le premier membre de Téquation (a4) psir 'e facteur dv qui correspond aux génératrices rectilignes, il reste, pour déterminer le second système de lignes asymptotiques, une équation difierentielle de la forme

(26) -7- -+-L a*-f- Mm -h N = o,

L, M et N étant des fonctions de la variable p. Les équations de cette espèce jouissent de propriétés remarquables, qui seronl établies plus tard. Ainsi on verra que le rapport anharmonique de quatre intégrales quelconques est constant; il en résulte que le rapport anharmonique des quatre points de rencontre d'une génératrice quelconque de la surface avec quatre lignes asymptotiques est constant, ce qui permet de trouver toutes ces lignes asymptotiques dès qu'on en connaît trois. On verra aussi que lorsqu'on connaît une ou deux intégrales de l'équation (26), on peut trouver toutes les autres par deux quadratures ou une seule quadrature.

Si toutes les génératrices de la surface rencontrent une droire fixe, cette droite est une ligne asymptotique du second système, el l'on aura toutes les autres par deux quadratures. Si la surfac e admet deux directrices rectilignes, on connaît deux lignes asymptotiques, et il semblerait qu'il faudra une quadrature pour avoir les autres. Mais on peut obtenir un résultat plus précis. En effei, étant donnée une surface réglée admettant deux directrices rectilignes, on peut effectuer une transformation homographique de façon que l'une de ces directrices s'éloigne à l'infini; la surface se change en une surface conoïde, et nous avons remarqué (n** 243 » que les lignes asymptotiques d'une surface conoïde se déterminent sans aucune quadrature.

24o. Lignes conjuguées. — On appelle tangentes conjuguées en un point d'une surface S deux droites passant par ce point,