II. — LIGNES ASYMPTOTIQUES. LIGNES CONJUGUEES
situées dans le plan langent, et formant un système de diamètres conjugués de l'indicatrice. A toute tangente de la surface correspond évidemment une tangente conjuguée qui coïncide avec la première, si elle est une tangente principale et dans ce cas seulement. Soit z=^F{Xyy) Téquation de la surface; si m et m! sont les coefGcients angulaires des projections de deux tangentes conjuguées sur le plan des xy, ces droites doivent être conjuguées harmoniques par rapport aux projections des deux tangentes principales de la surface, projections dont les coefGcients angulaires sont racines de Téquation
r-H sfc5fx -4- /[ji* = o.
Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que Ton ait (17) r -^ s{m -^ m')-\- tmm' = o.
Étant donnée une courbe C située sur la surface S, le plan tangent à cette surface tout le long de la courbe C enveloppe une surface développable qui est tangente à la surface S tout le long de C; en chaque point M de C, la génératrice de cette développable est la tangente conjuguée de la tangente à C.
Tout le long de la courbe C, x^y^ ^i p^ Ç sont fonctions d'un paramètre variable a; la génératrice de la surface développable est définie par les deux équations
— ds -^ p (ijr -h (/ cly — ilp{^ — ^ ) — ^7(^—7)= o,
dont la dernière se réduit à
y — y dp F dr -+- s dy
X — X dq s dx -^ t dy
Soient m le coefficient angulaire de la projection de la tangente à C, m' le coefficient angulaire de la projection de la génératrice; la relation précédente est identique à la relation (27), car on a
dv \-y
ce qui démontre la proposition énoncée.
On dit que deux familles de courbes de la surface, dont chacune dépend d'un paramètre variable, forment un réseau conjugué,
lorsque les tangentes aux. courbes des deux familles qui passent par un point quelconque de la surface y sont conjuguées. Il existe évidemment une infinité de réseaux conjugués, car on peut se donner arbitrairement une des deux familles de courbes, et les courbes de la seconde famille sont déterminées par une équation différentielle du premier ordre.
Étant donnée une surface représentée par les équations (19)» cherchons à quelles conditions les courbes u = const., (> = const. forment un réseau conjugué. Quand on se déplace sur la courbe v = const., la caractéristique du plan tangent est représentée par les deux équations
A(X - a:) -h B( Y - j^) ^ C(Z — iî) = o,
pour que cette droite coïocide avec la tangente à la courbe u = const.,
, , , ,. àx dy dz .. . .. ^^
dont les paramètres directeurs sont -)-> -j-» -r-» " faut et il suffit que
Ton ait
àv dv dif '
dXdx àBdy àC dz ^ du âv du dv du dv ~ '
mais, en différentiant la première de ces relations par rapport à u, on voit que la seconde peut être remplacée par la suivante
d^x ^ d^y r ^*^ du dv du dv dudv ^ '
et l'élimination de A, B, C entre les équations (21) et (28) conduit finalement à la condition nécessaire et suffisante
dx du
du
dz du
dx dv
ày
dv
dz dç
du dv du dv du dv
On peut dire encore que cette condition exprime que x^ y y z sont trois intégrales d^une équation de la forme
d^b w^ XT ^ dudv ~ du dv
