III. — LIGNES DE COURBURE. /i

OÙ M et N sonl des fondions quelconques de u el de v; il suffira donc de connaître trois intégrales distinctes d'une équation quelconque de celte forme pour avoir les équations d'une surface rapportée à un syslcme conjugué. Si, par exemple, on prend M = N = o, toute intégrale de Téqualion (29) est la somme d'une fonction de u et d'une fonction de p; sur toute surface représentée par des équations de la forme

(3o) T=f{u)-+-/i(v)y J^^ = (f(M)^-ç,(^;), 5 = iKa)H-i}/,(t'),

les courbes (i^) et {v) forment donc un réseau conjugué.

Les surfaces de cette espèce sont appelées sur/aces de translation; elles peuvent être engendrées de deux façons différentes par la translation d'une courbe de forme invariable F, dont un point décrit une autre courbe F'. Considérons en efTct les quatre points Mq} Mi, M], M de la surface, correspondant respectivement aux valeurs (mq» ^0)/ (w, (>©)) (wo, p), (a, ç) des paramètres w, ç. D'après les formules (3o), ces quatre points sont les sommets d'un parallélogramme. Si, laissant v^ fixe, on fait varier a, le point Ml décrit une courbe F de la surface; de même, si u^ reste fixe et qu'on fasse varier (^, le point Mt décrit une autre courbe F' de la surface. On peut donc considérer cette surface comme engendrée par la courbe F animée d'un mouvement de translation dans lequel le point M) décrit F', ou par la courbe F' animée d'un mouvement de translation dans lequel le point Mi décrit F. Il est évident, d'après ce mode de génération, que ces deux familles de courbes sont conjuguées; par exemple, les tangentes aux diverses positions de F', en tous les points de F, forment un cylindre circonscrit à la surface tout le long de F. Les tangentes à ces courbes sont donc conjuguées.