III. — LIGNES DE COURBURE

246. Définition et propriétés. — Étant donnée une surface S, on appelle lignes de courbure les lignes telles que les normales à la surface aux difTérents points de Tune d'elles forment une surface développable. Soit z =/(:r, y) l'équation de la surface dans un système d'axes rectangulaires, les équations de la normale sonl

( X = — pZ-^-ix -^ pz)^

pour que celle droite engendre une surface développable, il faut et il suffit que les deux équations (n® 223)

l —Zdp-^d{x-^pz) = o,

580 CHAPITRE XIK — SURFACES.

soient vérifiées pour une même valeur de Z, c'est-à-dire que l'on ait

dp ~ dq ^

OU, plus simplement,

dx-h pdz __ dy -^ qdz dp '^ dq

En remplaçant dz^ dp^ dq par leurs valeurs, on peut encore écrire cette équation

(t ^p^)dx-\-pqdy pqdx-^{i ^qi)djr ^ ^ r dx -^ s dy s dx -h t dy

On tire de cette équation deux valeurs pour ^; ces valeurs

sont toujours réelles et distinctes, si la surface est réelle. En effet, si l'on remplace dx et dy par a et ^ respectivement, on a précisément Péquation formée plus haut qui détermine les traces des sections normales principales sur le plan tangent. Les tangentes aux lignes de courbure passant par un point coïncident donc avec les axes de l'indicatrice. La théorie des équations diff'érentielles nous apprend que par tout point non singulier de la surface (autre qu'un ombilic) il passe une ligne de courbure, et une seulement, tangente à chacun des axes de l'indicatrice. Ces lignes sont toujours réelles si la surface est réelle; elles forment sur la surface un réseau qui est à la fois orthogonal et conjugué.

Exemple, — Soit à déterminer les lignes de courbure du paraboloîde

z = —• On a a

p — ~ y flr=-, /• = /=0, 5=-,

et Féquation différentielle (33) devient ici

On en lire

dx , dy -^== =t = o;

si nous prenons, par exemple, le signe -+• devant les deux radicaux, rin-