III. — LIGNES DE COURBURE. 58l
tégrale générale est représentée par l'équation
(a? 4- /a?» -h a*){y'^ /y«-+-a*) = C, qui donne Tun des systèmes de lignes de courbure. Si Ton pose
(34) X = a:v/j^«-+-a»-+-j^/a?*-Ha*,
l'équation précédente peut encore s'écrire
>4-v/XM-a*=C, d'après l'identité
{x v/y * + a* -h y ^x^-ha*y + a* = [xy -4- /(ar*-|-a*)(j^*-H a*)]*,
et il s'ensuit que les projections de l'un des systèmes de lignes de courbure sont représentées par l'équation (34)) où X désigne une constante arbitraire. On verrait de même que les projections des lignes de courbure de l'autre système sont représentées par l'équation
(35) x^y^-^a* — j^/j7*-H a'= ji.
En tenant compte de l'équation du paraboloïde xy= az, les relations (34) et (35) peuvent encore s'écrire
v/a7«-+-<«*-t-v6"*-i->52=G, /ar2-4-;5«— v6^«-l-^*= G';
or
^x^-i-z* et v/j^'-Hi*
représentent les distances du point (a?, y, z) aux deux axes Oy et Oa* respectivement. Les lignes de courbure du paraboloïde sont donc des courbes telles que la somme ou la différence des distances de l'un quelconque de leurs points aux deux axes Ox et Oy est constante.
247. Développée d'une surface. — Soît C une ligne de courbure de la surface S; lorsque le point M décrit la courbe C, la normale MN à la surface reste tangente à une courbe F. Appelons A le point de contact, et soient X, Y, Z ses coordonnées; la coordonnée Z est donnée par Tune quelconque des équations (82), qui se réduisent à une seule, puisque C est une ligne de courbure. Ces équations (82) peuvent s'écrire
„ __ (i-^p*)dx-{-pq dy ^ pq dx-\-(i-^ q^)dy ^
~" rdx-h s dy ~~ sdx -^ tdy '
on obtient encore une fraction équivalente à ces deux-là en multipliant les deux termes du premier rapport par dx, les deux
termes du second par dy^ et les combinant par voie d^addition, ce
qui donne
/fr* -f- dy^ -+-(/? dx -4- q dy)*
r dx^ -h -2 5 dx dy -r- t dy^
Mais dx^ dy, dz sont proportionnels aux cosinus directeurs a, P, Y de la tangente, et Ton a encore
Z — - = aî-4-3«-h(/?a-f-y ?y» ^ I
Si nous comparons cette formule à la formule (7), qui donne le rajon de courbure R, pris avec son signe, de la section normale tangente à la ligne de courbure, on voit que la relation précédente peut s'écrire
(36) Z — z= -—-- J:^— =- Rv,
V étant le cosinus de l'angle aigu que fait la direction positive de la normale avec Oz, ]VIais z -h Rv est précisément égal à la valeur de Z pour le centre de courbure de celte section normale. Il s'ensuit que le point de contact A de la normale MN a{^ec son enveloppe F coïncide avec le centre de courbure de la section normale principale tangente à C. La courbe F est donc le lieu même de ces centres de courbure. Si l'on considère toutes les lignes de courbure du même système que la ligne C, le lieu des courbes F correspondantes est une surface S à laquelle toutes les normales de S restent tangentes. Car la normale MN, par exemple, est tangente en A à la courbe F située sur S.
Considérons maintenant la seconde ligne de courbure G' passant par M et coupant orthogonalement la première C. La normale à la surface S le long de C reste de même tangente à une courbe F' qui est le lieu des centres de courbure des sections normales tangentes à C. Le lieu de celle courbe F' pour Fensemble des lignes de courbure du même système que G' est une surface 2' à laquelle sont tangentes toutes les normales de S. Les deux surfaces S, Y! ne sont pas, en général, analytiquement distinctes, mais constituent deux nappes d'une seule surface représentée par une équation indécomposable.
La normale MN à la surface S est tangente à ces deux nappes S,
