III. — LIGNBS DE COURBUBE

S', aux deux centres de courbure principaux A et A' de la surface S au point M. Il est facile de trouver les plans tangents à ces deux nappes aux points A et A' (Jig* 5i). Lorsque le point M décrit la courbe C, la normale MN engendre une surface développable D ajant F pour arête de rebroussement; d'autre part, le point de contact A' de cette normale MN avec 2' décrit une courbe ^ distincte de F', car la droite MN ne peut rester tangente

Fîg. 5i.

à la fois aux deux courbes F et F'. La développable D et la surface Il sont donc tangentes au point A', et, par suite, le plan tangent en A' à 5/ est tangent à la développable D le long de MN ; c'est donc le plan NMT, passant par la tangente à G. On verrait de même que le plan tangent à la surface 2) au point A est le plan NMT' passant par la tangente à la seconde ligne de courbure C.

Les deux plans NMT, NMT' sont rectangulaires, ce qui conduit à une propriété importante de la développée. Imaginons que d'un point quelconque O de l'espace on abaisse une normale OM sur la surface S, et soient A et A' les centres de courbure principaux de S sur cette normale. Les plans tangents aux points A et A' aux deux nappes S, Y! de la développée sont orthogonaux ; comme ces plans tangents passent au point O, on voit que les deux nappes de la développée d'une surface S, vues d^un point quel-

584 CHAPITRE Xll. — SURPAGUS.

conque O de V espace, paraissent se couper à angle droit. La réciproque de celte propriété sera démontrée plus loin.

248. Formules d'Olinde Rodrigues. — Désignons toujours par X, |JL, V les cosinus directeurs de la normale à la surface, parR un rayon de courbure principal; les coordonnées du centre de courbure correspondant sont

(37) X = r-f-RX, Y=j-hRtJi, Z=^-+-Rv.

Lorsque le point {^y y-t z) décrit la ligne de courbure tangente à la section normale dont le rayon de courbure est R, ce centre de courbure décrit, nous venons de le voir, une courbe F tangente à la normale MN de S. On doit donc avoir

X (JL V

OU, en remplaçant X, Y, Z par les valeurs (37),

fi.T -4- R ^X dy -\-Kd\L dz -h R rfv .

la valeur commune de ces rapports est zéro, car si on les combine

par addition après avoir multiplié les deux termes du premier

par X, ceux du deuxième par [x, ceux du troisième par v, on a un

rapport équivalent dont le dénominateur est l'unité, tandis que le

numérateur

X dx 4-fxû()^-T-vûf-5-i-R(XdX-f-jxrfji-f-vrfv)

est identiquement nul. Nous obtenons ainsi les formules d'Olinde Rodrigues

(38) dla7-t-R^X = o, dy -\-^d\k = o^ c^;5-hRrfv = o,

qui jouent un rôle important dans la théorie des surfaces. Bien entendu, ces formules ne s'appliquent qu'à un déplacement du point (a*, j', z) sur une ligne de courbure.

249. Lignes de courbure en coordonnées curvilignes. — Lorsque

les coordonnées rectangulaires x^ jk> -2 d'un point d'une surface sont exprimées au moyen de deux paramètres variables </, v^ les