III. — LIGNES DB COURBURE

équations de la normale sont

A, B, C étant déterminés par les relations (21). Pour que cette droite engendre une surface développable, il faut et il suffit que l'on ait (n« 223)

dx dy dz (39) A B C =0;

dK é/B rfC

en remplaçant x^ y^ z^ A, B, C par leurs expressions au moyen des variables a, v^ on a l'équation différentielle des lignes de courbure.

Cherchons, par exemple, les lignes de courbure de l'hélicoïde

= a arc lang —

On peut poser ici

a: = p cos6, j' = psin6, z — a^\

les coefficients A, B, G doivent satisfaire aux deux relations

A cos6 -h B sinO = o,

— Ap sinô + Bp cosO -h Ga = o.

Nous prendrons C = p et, par suite, A = a sinO, B = — a cosO.

L'équation difTérentielIe (Sg) devient ici, en développant et réduisant les termes semblables,

rfp«— (p*-+-a«)rfO»=o.

On en tire

dO = ± ^' ;

si nous prenons, par exemple^ le signe +, il vient en intégrant.

ac^-0«

et

Les projections de ces lignes de courbure sur le plan des xy sont des spirales toutes égales qu'il est facile de construire.