III. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

Dans un grand nombre de questions d'Analyse, il arrive fréquemment que l'on est conduit à changer de variables indépendantes. Il faut alors pouvoir exprimer les dérivées prises par rapport aux anciennes variables au moyen des dérivées prises par rapport aux nouvelles variables. Nous avons déjà traité un problème de ce genre à propos de Tinversioa. Envisageant maintenant la question à un point de vue plus général, nous allons passer en revue les problèmes qui se présentent le plus fréquemment.

31 • Problème I. — Soit y une fonction de la variable indépendante X» On prend une nouvelle variable indépendante t, liée à a: par la relation a: = <f(t); on propose d'exprimer les dérivées successives de y par rapport à x au moyen de t et des dérivées successives dey par rapport à /.

Soientj^=/(a:) la fonction considérée et F(^)=/[©(^)] ce que devient cette fonction quand on a remplacé x par <f{t). D'après la règle qui donne la dérivée d'une fonction de fonction, on a

d'où l'on tire

, __ dt y\

ce qui peut s'énoncer ainsi : pour avoir la dérivée de y par rapport à x^ on prend la dérivée de cette fonction par rapport à t, et on la divise par la dérivée de x par rapport à t.

On obtiendra la dérivée seconde --j^ en appliquant la règle

précédente à l'expression qui vient d'être obtenue pour la dérivée première

dx* v^'{t) l?'(0?

une nouvelle application de la même règle donnera la dérivée du

troisième ordre

OU, en eflecluant les calculs,

Ces dérivées successives se calculeront, de proche en proche, par Tapplication de la même règle; d^une manière générale, la dérivée d'ordre /i de ^ par rapport à x s'exprime au moyen de ?'(0> ?'(^)> •••» Î^^H^) et des dérivées successives dey par rapport à t^ jusqu'à celle d'ordre n. On peut mettre les formules précédentes sous une forme plus symétrique; désignons par dx^ dy^ d'^x^ d^y, . . ., rf^x, rf"y, les différentielles successives de x et de y prises par rapport à la variable ^, et par y\ j^', . . . , y^"^ les dérivées successives àey par rapport à a: ; les formules précédentes peuvent s'écrire

•^ dx'

dx d^y — dy d^x

(20) { dx^

•" -. ^^y ^^* *~ ^ ^^y dxd^x -h Zdy{d^x)^ — dyd^x dx

La variable indépendante /, par rapport à laquelle sont prises les différentielles qui figurent dans les seconds membres de ces formules, est absolument quelconque, et l'on passe d'une dérivée à la suivante par la loi de récurrence

•^ ~~ dx "

où le second membre est le quotient de deux différentielles.

32. Applications. — On se sert de ces formules pour étudier une courbe plane, lorsque les coordonnées d'un point de cette courbe sont exprimées au moyen d'une variable auxiliaire t^

m. — CHANGEMENTS DE VARIABLES. 71

pour étudier celle courbe dans le voisinage d'un de ses points, il faut pouvoir calculer les valeurs des dérivées successives y', y ^ . . . , de^ par rapport à x pour le point considéré. Or les formules précédentes nous donnent précisément ces dérivées exprimées au mojen des dérivées successives des fonctions f{^t) et o(/), sans qu'il soit nécessaire d'avoir l'expression explicite de^ en fonction de x^ ce qui pourrait être pratiquement impossible. Ainsi la première formule

y ^ dx- f\t)

donne le coefficient angulaire de la tangente; la valeur de y^ intervient dans un élément géométrique important, le rayon de courbure, qui a pour expression, comme nous le démontrerons plus loin,

(iH-y*)'

Pour avoir la valeur de R lorsque les coordonnées ;r et ^ sont données en fonction d'un paramètre t^ il n'y a qu'à remplacer y' et j^ par les expressions précédentes, et il vient ainsi

I dx d^y — dy d*x\'

le second membre ne renferme que les dérivées premières et secondes de x et de y par rapport à t.

Voici, au sujet de cette question, une remarque intéressante que j'emprunte au Traité de Calcul différentiel et intégral de M. Bertrand (t. I, p. 170). Imaginons qu'en calculant un élément géométrique d'une courbe plane, dont les coordonnées x et y sont supposées exprimées au moyen d'un paramètre /, on ait obtenu l'expression

¥{Xjy, dx, dy, d^Xy d^y, ..., d'^x, d^y),

toutes les différentielles étant prises par rapport à t. Puisque, par hypothèse, cet élément a une signification géométrique, sa valeur ne doit pas dépendre du choix de la variable indépendante t. Or, si l'on prend x = t, on doit faire dx = dt, d^x = d^x =. . .= d*^x = o, et l'expression précédente devient

c'est le résultat que Tod aurait obtenu en supposant tout d'abord que l'équation de la courbe considérée est résolue par rapport à y^ soit y = <I>(ar). Pour remonter de ce cas particulier au cas où la variable indépendante est quelconque, il suffit de remplacer y\ y'j y", . . . par leurs valeurs tirées des formules (ao). En effectuant cette substitution dans

on devra donc retrouver l'expression F(a?, ^, dx^ dy, d^x^ d'^y, , . .}d'où Ton est parti. S'il n'en est pas ainsi, on pourra affirmer que le résultat obtenu est erroné. Par exemple, l'expression

dx d*y -+- dy d^x {dx^-\-dy^y

ne peut avoir, pour une courbe plane, de signification géométrique indépendante du choix de la variable; car, si l'on suppose x = ty cette exprès-

sion se réduit à ^> et, en remplaçant y' et ^'^ par leurs valeurs

tirées des formules (20), on ne retrouve pas l'expression précédente.

33. On se sert aussi fréquemment des formules (20) dans Tétude des équations différentielles. Supposons par exemple que Ton veuille déterminer toutes les fonctions y d'une variable indépendante X qui satisfont à la relation

où n est constant. Prenons une nouvelle variable indépendante /, en posant x = cos ^ ; on a

dy

dy dt

dx — sin^

. ^ d^y ^ dy

dx^ sin3/

et Téquation (21) devient, après la substitution,

(22) ^-+.nî^=:0.

Il est facile de trouver toutes les fonctions de t qui satisfont à

dy d^r