III. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

celte relation, car on peut l'écrire, en multipliant par 2 -^>

on doit donc avoir

a désignant une constante quelconque, et par suite,

OU

dy dt

Le premier membre est la dérivée de arc sin— — nt\ il faut donc

que cette différence soit égale à une nouvelle constante 6, et Ton a

^ = a sin ( n/ -h ô ),

ce qui peut encore s'écrire

j^ = A sin/i/ -h B cos nt.

En revenant à la variable primitive x^ on en conclut que toutes les fonctions de x qui vérifient la relation proposée (21) sont comprises dans la formule

^ = A sin(/i arc cosar) ■+- B cos(/i arc cosx), A et B désignant deux constantes arbitraires.

34. Problème II. — A toute relation entre x et y, les formules de transformation x=:f{t^ u), y = ^{t^ u) font correspondre une relation entre t et u. On propose d'exprimer les dérivées de y par rapport à x au moyen de t, u, et des dérii^ées de u par rapport à t.

Ce problème se ramène immédiatement au précédent, en remarquant que les formules de transformation

nous donnent les variables primitives x et y exprimées au moyen

de la variable /, si Ton imagine qu'on ait remplacé u dans ces formules par sa valeur en fonction de t, II suffira donc d'appliquer la méthode générale, en regardant toutefois x qI y comme des fonctions composées de t^ la lettre u jouant le rôle d^une fonction

intermédiaire. On a d'abord

do do du

dy __ dy ^dx dt du dt

puis

dt

' dt ~

' àf dt

du

du dt

d^y dx^

dt^

fdy\

\dxj

dx

'•dt'

dx^

OU, en eflectuant les calculs,

/df à£^u\Td^ d^du d^ /duy dy d* t^l /()<p c^cp du\ fd^f

^y ^ \dt^ du dtJldt^ '^^dudt dt "^ du*\dt) '^ du dt^ ] \dt~^ du dt)\dii

(àf^àfduy \dt du dtj

D'une façon générale, la dérivée n*'"*® y^"^ s'exprime au moyen

1 ^ ,1 jÈi ' 1 du d^u d^u

de ^, w, et des dérivées -rr > -^-^ > • • • > -t— ■ •

Supposons, par exemple, qu'on ait l'équation d'une courbe en coordonnées polaires p z=f(to). Les formules qui donnent les coordonnées rectangulaires d'un point sont les suivantes :

ar = pcosa>, ^ = psina>;

soient p', p", ... les dérivées successives de p prises par rapport à (i>, considérée comme variable indépendante. On tire des formules précédentes

dx = ces ta dp — p sin (o dta,

dy =: sinu) dp H-pcosa)c?co, d*x = cosco d^p — 2sinu> dto dp — p costo <fw*, d^y = sin o) û?* p H- 7. ces w dtji dp — p sin u> c^to-,

et par suite,

dx* -h dy* = dp* •+- p« d(M*,

dx d*y — dy d*x — idia dp^ — p c^to c?* p -h p* û?(o'. L'expression obtenue plus haut du rayon de courbure devient

pi 4-2p'« pp"