III. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

35. Transformations des courbes planes. — Imaginons qu^à lout poinl m d^un plan on fasse correspondre, d'après une construction déterminée, un autre point M du même plan; si l'on désigne par (^, J^) les coordonnées du point m, par (X, Y) les coordonnées du point M, on a entre ces coordonnées deux relations telles que

Ces formules définissent une transformation ponctuelle; la Géométrie en offre de nombreux exemples, tels que la transformation homographique, la transformation par rayons vecteurs réciproques, etc. Lorsque le point m décrit une courbe c, le point correspondant M décrit une autre courbe G, dont les propriétés peuvent se déduire de celles de la courbe c, et de la nature de la transformation employée. Soient^', y\ ... les dérivées successives de^ par rapport à a:, et Y', Y", ... les dérivées successives de Y par rapport à X; pour étudier la courbe C, il est nécessaire de pouvoir exprimer Y', Y", ... au moyen de x^ y^y\ y^ .... C'est précisément le problème que nous venons de traiter; on a d'abord

do do , • -f- ' K ôx dy^

£lx

dx dy -^

dY' dx

d\ dx

Cl ainsi de suite. On voit que Y' ne dépend que de a:, y, y'] si donc on applique la transformation (28) à deux courbes c, Ct, tangentes au point {x^y)^ les courbes transformées C, C| seront tangentes au point considéré (X, Y). Celte remarque permet de remplacer la courbe c par toute autre courbe tangente à celle-là, quand il s'agit seulement de trouver la tangente à la courbe transformée C.

Considérons, par exemple, la transformation définie par les formules

qui n'est aulre qu'une transformation par rayons vecteurs réciproques ou inversion^ avec l'origine pour pôle. Soit m un point d'une courbe c, et M le point correspondant de la courbe C. Pour trouver la tangente à cette courbe C, nous n'avons qu'à appliquer

Fig. 5.

ce résultat de Géométrie élémentaire, que la figure inverse d'une ligne droite est un cercle passant par le pôle d'inversion.

Si nous remplaçons la courbe c par la tangente mt^ la figure inverse de mt est un cercle passant par les deux points M et O et dont le centre A est situé sur la perpendiculaire O^ abaissée de l'origine sur mt, La tangente MT à ce cercle est perpendiculaire à AM et les angles Mm/, mWY sont égaux comme complémentaires de l'angle mOt. Les tangentes mt et MT sont donc anliparallèles par rapport au rayon vecteur.

36. Transformations de contact. — Les transformations précédentes ne sont pas les plus générales qui changent deux courbes tangentes en deux autres courbes tangentes. Imaginons que de tout point m d'une courbe c on déduise un autre point M par une construction déterminée qui dépend, non seulement du point /7i, mais de la tangente en ce point. Les formules qui définissent cette transformation sont de la forme

^=f(^, y^ y), Y = cp(ar, y,y')\

et le coefficient angulaire Y' de la tangente à la courbe transformée a pour expression

dx olr ^y

dx àjr