III. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

En général, Y' dépend des quatre variables ar, y^ y^ y"', si Ton applique la transformation (24) à deux courbes c, c^ tangentes en un point (x, y)^ les courbes correspondantes C, Ci auront un point commun (X, Y), mais elles ne seront pas tangentes, à moins que y n'ait la même valeur pour les deux courbes c et C| . Pour que les deux courbes C, Ci soient toujours tangentes, en même temps que les courbes c, Ci, il faut et il suffit que Y' ne dépende pas dej^, c'est-à-dire que les fonctions /(j:,^,j/'') et ?(^,^i^') satisfassent à la condition

dy\dx c!r / ày\dx <îr /

on dit alors que la transformation considérée est une transformation de contact. Il est clair qu'une transformation ponctuelle est un cas particulier des transformations de contact (*).

Considérons, par exemple, la transformation de Legendre qui consiste à faire correspondre à un point (a:, y) d'une courbe c le point M de coordonnées

on déduit de ces formules

^ -^dx^ y -""'

ce qui montre bien que cette transformation est une transformation de contact. On aura de même

d\ ^ ydx y'

et ainsi de suite. On déduit des formules précédentes