Y', ^ = XY'-Y, /=X

(') Legeadre et Ampère avaient donné de nombreux exemples de ces transformations. M. Sophus Lie a développé la théorie générale dans diiïérents travaux. Voir, en particulier, Géométrie der Berûhrungstransformationen; voir aussi Jacobi, Voriesungen ûber Dynamik,

ce qui prouve que la iransformalion est réciproque. Toutes ces propriétés s^expliquent aisément si l*on remarque que le poiat de coordonnées X =^', Y = xy^ — y est précisément le pôle de la tangente à la courbe c au point (^,^) par rapport à la parabole x- — 7,y = o. Or, d'une manière générale, si Ton prend le pôle M de la tangente en m k une courbe c par rapport à une conique directrice S, le lieu du point M est une courbe C dont la tangente au point M est précisément la polaire du point m par rapport à S. Il y a donc réciprocité entre les deux courbes c et C; d'ailleurs, si Ton remplace la courbe c par une autre courbe C| tangente à c au point //i, la courbe réciproque C| est tangente à la courbe C au point M.

Podaire. — Si d*un point fi\e 0, pris dans le plan d'une courbe c, on abaisse une perpendiculaire OM sur la tangente au point m à cette courbe, le lieu du pied M de cette perpendiculaire est une courbe G qui est dite la podaire de la première. Il serait facile d'obtenir par le calcul les coordonnées du point M, et de vérifier que la transformation ainsi obtenue est une transformation de contact, mais on y arrive plus simplement comme il suit : Considérons, en effet, un cercle y de rayon R décrit du

Fig. 6.

point O comme centre, et soit mi un point pris sur OM et tel que O/Hi X OM = R*. Le point nii est le pôle de la tangente mt par rapport au cercle ^'j de sorte que la transformation qui conduit de c à G résulte d'une transformation par polaires réciproques, suivie d'une inversion. Lorsque le point m décrit la courbe c, le point mi, pôle de m/, décrit une courbe Ci tangente à la polaire du point m par rapport au cercle Yt c'est-à-dire à la droite m\ t\ perpendiculaire sur Om. La tangente MT à la courbe G et la tangente ni^ti à la courbe C\ font des angles égaan avec le

m. — CHANGEMENTS DE VARIABLES. 79

rayon vecteur OmiM; si donc nous menons la normale MA, les angles AMO, AOM sont égaux comme compléments d'angles égaux, et le point A est le milieu du rayon 0/n. D'où Ton conclut quon obtient la normale à la podaire en joignant le point M au milieu de Om.

37. TraiiBfonnations homographiques. — Toute fonction y qui vérifie réquation^= oest une fonction linéaire de x et inversement. Or, quand on effectue sur x t\. y une transformation homographique

qX-4-6YH-c aX-f-6^Y-f- c'

^" a'XH-ô'YH-c'' ^"" a'X-f-6'Y-f-c''

une ligne droite se change en une ligne droite ; l'équation y" = q doit donc se

rf*Y changer en -j=r =0. Pour le vérifier, nous remarquerons d'abord que la

transformation homographique générale peut se ramener à une suite de transformations particulières d'une forme simple. Si les deux coefficienls a' et b' ne sont pas nuls, nous poserons X| = a'X -1- ô'Yh- c'; comme d'ailleurs on ne peut avoir à la foisaô' — a'b =0, a'b' — b' a" = 0^ nous poserons en même temps Yj = a'X-4-6'Y-+-c',en supposant a' 6' — b' a" différent de zéro. Les formules précédentes peuvent alors s'écrire, en remplaçant X et Y par leurs valeurs en fonction de Xi et Yi,

Y, aX,-+-pY, + Y Q Y, y

On voit donc que la transformation homographique générale peut se ramener à une combinaison de transformations entières telles que

a7 = aX-f-6Y4-c, y = a'X-^- b'\ ^ c, et de la transformation particulière

Quand on effectue cette substitution, on trouve d'abord

,,dy \r^\ , -^i.

dx X» • X«

puis

y=^ =:-XY^(-x«)=x»Y^

De même, quand on effectue une transformation homographique entière^

8o CHAPITRE II. — FONCTIONS IMPLICITES^ ETC.

on a

^ "^ dx " a-^bV'

. dy^ (ab'-^ba')Y'' •^"" dx "" (a-i-bY'y

Dans les deux cas, Téquation ^'==0 se change en Y' = o.

Nous allons considérer maintenant des fonctions de plusieurs variables indépendantes et, afin de fixer les idées, nous exposerons les raisonnements pour une fonction de deux variables.

38. Problème III. — Soit co z=/(x, y) une fonction des deux variables indépendantes x et y; on prend deux nouvelles variables indépendantes u et v liées aux anciennes par les formules

et Von se propose d^ exprimer les dérivées partielles de w par rapport aux variables x et y au moyen de w, r, et des dérivées partielles de (o, prises par rapport aux variables u et v.

Soit w = F(tt, v) ce que devient la fonction /(x, y) après la substitution; la règle de dérivation des fonctions composées nous donne

du ~~ dx du ày du

du) dià d^ dd} d'^ •

dv ~~ dx dç dy ~dv'

on peut tirer de ces deux équations ^ et ;.- car, si le déterminant r^y^ ^i était nul, le changrement de variables effectué n'aurait D(u, i') ' °

aucun sens. On déduira donc des équations précédentes

(' doi . d(i} n ^^ dx du dv '

Ido) ^ diii ^ dtti dy du dv

A, B, C, D étant des fonctions déterminées de u et v, et ces formules résolvent le problème pour les dérivées du premier ordre. Elles montrent que ^ pour obtenir la dérive e d' une fonction par rapport à x, il faut multiplier par A la dérivée prise par rap-